Exercices Alternatifs

Changement de l’ordre des termes d’une série

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2001 Sylvain Crovisier, Frédéric Le Roux (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres).

Source: convergence-commutative.tex.
Version imprimable: convergence-commutative.pdf

Séries. DEUG deuxième année. Angle pédagogique : Expérimental.

Objectifs et commentaires. Sensibiliser les élèves au délicat problème de la permutation des termes d’une série semi-convergente. Au passage, on utilise une version simple du “regroupement par paquets”, et une comparaison série-intégrale. Les séries non-commutatives sont sans doute un sujet trop abstrait pour être abordé directement par les étudiants de DEUG ; c’est pourquoi nous leur proposons une phase expérimentale sous MAPLE (partie I). Dans un deuxième temps (partie II), on leur demande de démontrer ce qu’il ont observé en prenant garde à rester dans un cadre suffisamment concret. Dans la partie III, on traite d’abord le cas des séries à termes positifs. Maintenant qu’on a fait remarquer aux étudiants qu’il peut arriver des choses bizarres quand on permutte l’ordre des termes de certaines séries, on peut essayer d’obtenir d’eux une preuve de la convergence commutative dans le cas positif (alors que sans les parties précédentes, on peut parier que la question paraîtrait sans intérêt aux étudiants : ¡¡ évidemment, ça change rien, l’addition est commutative...¿¿. On revient ensuite à la série harmonique alternée, pour essayer de faire sentir aux étudiants la possibilité d’atteindre n’importe quelle valeur en changeant l’ordre des termes. Enfin, l’appendice exploite la non-commutativité pour obtenir un calcul de cette série (sans les séries entières). L’exercice est assez long et peut être traité partiellement (par exemple, les parties I et II peuvent être traitées en TP sur logiciel de calcul, puis la partie III en TD, ou en ateliers en travail en groupe) ; mais nous recommandons de conserver l’ordre proposé (et surtout de ne pas proposer la partie III sans la partie I).

Remarque : la question 1 de la partie III est volontairement vague, les étudiants ressentiront peut-être le besoin de formaliser ce que signifie “changer l’ordre des termes”. On peut les aider en leur suggérant de penser aux suites extraites (u_{φ(n)}) : ici, que doit vérifier l’application φ?...

Les questions qui nécessitent une preuve et qui n’utilisent pas MAPLE sont notées (♣). Il est conseillé d’utiliser MAPLE au maximum dans les calculs. Les questions sont logiquement indépendantes.

I. Expérimentation

Question 1.

Notre série semi-convergente préférée est la série harmonique alternée de terme général

u_{n} = −\frac{(−1)^{n}}{n} , avec n ≥ 1.

Ses termes sont successivement positifs et négatifs :

∑ u_{n} = \frac{1}{1} −\frac{1}{2} +\frac{1}{3} −\frac{1}{4} +\frac{1}{5} −\frac{1}{6} +\frac{1}{7} −\frac{1}{8} +\frac{1}{9} + ⋯

Vérifier (à l’aide de MAPLE) qu’elle est semi-convergente (i.e. convergente mais non absolument convergente). Quelle est sa somme ?

Question 2.

Nous construisons une nouvelle série ∑ v_{n} à partir de ∑ u_{n} en modifiant l’ordre d’apparition de ses termes : cette fois, un terme positif sera suivi de deux termes négatifs. La série ∑ v_{n} s’écrit donc :

∑ v_{n} = \frac{1}{1} −\frac{1}{2} −\frac{1}{4} +\frac{1}{3} −\frac{1}{6} −\frac{1}{8} +\frac{1}{5} −\frac{1}{10} −\frac{1}{12} + ⋯

Calculer les sommes partielles de ∑ v_{n} d’ordre 30, 90, 300 et les comparer à la somme de ∑ u_{n}.

II. Première démonstration

Alors que nous avons simplement modifié l’ordre des termes, les séries ∑ u_{n} et ∑ v_{n} semblent avoir des sommes différentes !

La question 1 démontre ce “paradoxe” en supposant que la série ∑ v_{n} converge. La question 2 prouve cette convergence. (Les questions sont indépendantes.)

Question 1. Les séries ont des sommes différentes

a. (♣) Écrire la forme du terme général v_{n}. (On pourra distinguer pour m ≥ 1, les termes v_{3m−2}, v_{3m−1} et v_{3m}.)

b. Nous notons U_{n} et V_{n} les sommes partielles de ∑ u_{n} et ∑ v_{n} :

U_{n} = ∑_{k=1}^{n} u_{k}, V_{n} = ∑_{k=1}^{n} v_{k}.

Montrer que la suite (U_{2l})_{l≥1} est strictement croissante, et que la suite (V_{3m+1})_{m≥1} est strictement décroissante. Trouver des entiers l et m plus grands que 1 tels que U_{2l} ≥ V_{3m+1}.

c. (♣) En admettant que ∑ v_{n} converge, conclure que la somme de la série ∑ u_{n} est strictement supérieure à la somme de sa série modifiée ∑ v_{n}.

Question 2. Preuve de la convergence

Nous voulons montrer que ∑ v_{n} converge et faire calculer par MAPLE la somme exacte de ∑ v_{n}. Nous aurons besoin du “principe de regroupement par paquets” :

Proposition : Principe de regroupement par paquets.

Soit ∑_{n≥1} a_{n} une série dont le terme général a_{n} tend vers 0. Nous définissons une nouvelle série ∑_{m≥1} b_{m} en regroupant les termes par paquets de trois :

b_{1} = a_{1} + a_{2} + a_{3},
b_{2} = a_{4} + a_{5} + a_{6},
⋯
b_{m} = a_{3m−2} + a_{3m−1} + a_{3m},
⋯

Alors, les séries ∑ a_{n} et ∑ b_{m} sont de même nature (convergentes ou divergentes). Si elles convergent, leurs sommes sont égales.

Ainsi pour étudier la convergence de ∑ v_{n} il est plus simple de grouper les termes par paquets de trois et d’introduire la série ∑ w_{m} :

w_{1} = v_{1} + v_{2} + v_{3},
w_{2} = v_{4} + v_{5} + v_{6},
⋯
w_{m} = v_{3m−2} + v_{3m−1} + v_{3m},
⋯

Calculer explicitement le terme général w_{m}. En déduire que la série ∑ v_{n} converge (utiliser le regroupement par paquets). Demander à MAPLE sa somme, et comparer à ∑ u_{n}.

III. Démonstration sur papier (♣)

Dans les deux premières parties, on a constaté expérimentalement que changer l’ordre des termes de la série harmonique alternée pouvait modifier la valeur de la somme, puis on a donné une preuve de ce résultat. On propose maintenant d’explorer d’autres aspects du changement d’ordre des termes d’une série.

Question 1. Cas des séries à termes positifs

Soit ∑ u_{n} une série à termes positifs, et ∑ v_{n} une série obtenue à partir de la précédente en changeant l’ordre des termes.

a. Si ∑ u_{n} converge, est-ce que ∑ v_{n} converge nécessairement ?

b. Si les deux séries convergent, ont-elles la même somme ?

Question 2. Changement d’ordre qui fait diverger la série harmonique alternée

a. Montrer qu’il est possible de changer l’ordre des termes de la série harmonique alternée pour obtenir une série divergente ! (Aide : la série à termes positifs ∑ u_{2n+1} est divergente).

b. Montrer qu’il est possible de changer l’ordre des termes de la série harmonique alternée pour obtenir une série dont la somme vaut 100 (ou bien tout autre nombre qui vous plaira).

Question 3. Pour aller plus loin...

Proposer une conjecture qui généraliserait à d’autres séries les résultats obtenus sur la série harmonique alternée. Prouver la conjecture.

IV. Appendice : un calcul de la somme de la série harmonique alternée

Nous souhaitons retrouver maintenant les sommes S et S′ que donne MAPLE pour ∑ u_{n} et ∑ v_{n}.

Question 1. Une première relation entre S et S′

On regroupe les termes de ∑ u_{n} par paquets de deux en définissant la série ∑ t_{m} de terme général

t_{m} = u_{2m−1} + u_{2m}, avec m ≥ 1.

Calculer t_{m} et trouver une relation simple entre t_{m} et w_{m} (miracle !). En déduire une relation simple entre les sommes S et S′.

Question 2. Une seconde relation (♣)

Indépendamment de la question précédente, montrer que pour m ≥ 1,

V_{3m} = U_{2m} + ∑_{k=m+1}^{2m} u_{2k}.

Pour étudier ensuite ∑_{k=m+1}^{2m} u_{2k}, comparer u_{n} à une intégrale et prouver,

∫_{m}^{2m} \frac{1}{2x}dx ≥ ∑_{k=m+1}^{2m} u_{2k} ≥ ∫_{m+1}^{2m+1} \frac{1}{2x}dx.

En déduire la limite de ∑_{k=m+1}^{2m} u_{2k} lorsque m tend vers +∞ puis une nouvelle relation entre les sommes S et S′.

Question 3. Conclusion (♣)

Conclure en donnant les valeurs de S et S′.

Question 4. Question subsidiaire (♣)

Prouver le “principe de regroupement par paquets”.