Exercices Alternatifs

Dessiner le crocodile : visualisation de la multiplication complexe

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2001 Frédéric Le Roux (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres).

Sources et figures: crocodile/. Version imprimable: crocodile.pdf Nombres complexes. DEUG première année. Angle pédagogique : Visualisation.

Objectifs et commentaires. L’image d’un crocodile par l’application z ↦ z^{2} est un crocodile qui se mord la queue, manière visuelle percevoir la non-injectivité. Cet exercice est inspiré du début du film d’Adrien Douady sur la dynamique du lapin, où Adrien explique sans formule, graphiquement, la fonction z ↦ z^{2} + c. On peut faire placer des points de l’image du croco au fur et à mesure des questions 1 et 2.

On voudrait comprendre “quel effet cela fait à un nombre complexe de se faire élever au carré”. Pour ça, on cherche à dessiner l’image du crocodile par l’application φ :

\begin{matrix}ℂ & → & ℂ \\ z & ↦ & z^{2}. \end{matrix}

Fig. 1:

a. Ecrire les parties réelles et imaginaires de z^{2} en fonction de celles de z, puis le module et l’argument de z^{2} en fonction de ceux de z. Commentaire ?

b. Dessiner une demi-droite issue de 0 et son image par φ.

c. Quelle est l’image d’un cercle centré en 0 ? Placer aussi les images de quelques points particuliers du cercle.

d. “Dessiner l’image du crocodile”. e. “Comment voit-on que l’application n’est pas injective ?” f. Dessiner l’image réciproque du crocodile (attention, il y a un piège...). g. (plus facile) Dessiner de même l’image du croco par z ↦ z + 1 + 2i, z ↦ (\sqrt{3} + i)z.