Exercices Alternatifs

.

Des Dominos en Série

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2001 Frédéric Le Roux (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres).

Source: dominos-en-series.tex.
Version imprimable: dominos-en-series.pdf

Séries. DEUG deuxième année. Angle pédagogique : Visualisation.

Objectifs et commentaires. Visualiser la série harmonique (somme des inverse des entiers) ; voir un contexte physique où elle apparaît, et où sa divergence à une signification : on peut construire une pile de domino avec un porte-à-faux aussi grand qu’on veut (en théorie...) En pratique, même si la divergence de la série est très lente, on arrive à obtenir un décalage d’une longueur supérieure à celle d’un domino, ce qui est déjà spectaculaire (si vous n’avez pas de domino, un jeu de cassettes audio homogène fait très bien l’affaire !) On peut sans doute donner cet exercice en introduction aux séries, avant qu’elles aient été abordées en cours (la divergence de la série est très facile à montrer en regroupant les termes entre n et 2n). Question subsidiaire : combien faut-il de dominos, au minimum et en théorie, pour avoir un décalage de 1 dominos ? Comparer à la pratique. Combien faut-il de dominos pour avoir un décalage de 10 dominos ? On peut répondre à ces questions par une estimation sur machine, ou bien en utilisant la comparaison entre la série et une intégrale. Remarque : c’est un exercice difficile ; le plus simple est sans doute de raisonner en partant du haut de la pile, et de calculer par récurrence l’emplacement du centre de gravité des k dominos du dessus dans la position limite. On peut aussi obtenir une solution “qualitative” : supposons que la pile de dominos est constituée de sous-piles exactement verticales (sans aucun porte-à-faux), le porteà-faux ne provenant que du décalage entre deux sous-piles successives. Notons n_{1}, n_{2}, etc. le nombre de dominos de chaque sous-pile (en partant du haut). Alors si chaque n_{k} est assez grand devant la somme des n_{i} précédents, le décalage entre deux sous-piles successives peut être choisi égal à 1/4. Ceci prouve que l’on peut obtenir un décalage total arbitrairement grand. Il s’agit là de la preuve la plus courte, probablement pas la plus facile à comprendre... Une dernière remarque : on montre dans cet exercice qu’on peut atteindre un porteà-faux arbitrairement grand ; cependant, il n’existe sans doute pas de pile de dominos, constituée d’un infinité de dominos satisfaisant aux conditions d’équilibre, avec un porte-à-faux infini. Ceci demanderait une preuve ! Cet exercice est extrait de La physique en question, Mécanique, J.-M. Lévy-Leblond, éditions Vuibert (question 13).

Zazie joue avec ses dominos. Elle veut les empiler l’un sur l’autre en surplomb, chaque domino dépassant celui sur lequel il est posé, de façon a construire une pile aussi inclinée que possible. Quel est le nombre maximal de dominos, et quel est le porte-à-faux maximal (distance horizontale entre le domino supérieur et le domino inférieur) que l’on peut atteindre en principe sans que la pile s’effondre ?

Suggestion : à quelle condition le dernier domino de la pile (celui du haut) est-il en équilibre sur l’avant-dernier ? Dans cette position, à quelle condition ces deux-là sont-ils en équilibre sur l’avant-avant-dernier, etc. ?