Exercices Alternatifs

Équations polynomiales

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2001 Frédéric Le Roux (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres).

Source: equations-polynomiales.tex.
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Polynômes. DEUG première année. Angle pédagogique : Technique.

Objectifs et commentaires. Savoir quels types d’équations on peut résoudre avec les techniques du cours (et les résoudre !) Évidemment, cette formulation inhabituelle pose des problèmes pédagogiques : les étudiants se satisfont difficilement de la réponse “Je ne sais pas faire” quand elle vient du prof ! (Manque d’habitude ?...) On peut bien sur évoquer la théorie de Galois, dire que même si on n’a pas de formules, on a des algorithmes pour trouver des solutions approchées ; mais l’essentiel est de ne pas apprendre une technique sans être conscient de ses limites ! D’ailleurs, je ne sais absolument pas si les équations atypiques données ici sont résolubles par radicaux ou non...

Résoudre, si c’est possible, les équations polynomiales suivantes :

\begin{matrix}(a) z^{3} = i & (b) z^{5} = 1 + i\sqrt{3} \\ (c) z^{2} + 2iz + 1 = 0 & (d) z^{10} − 2i\sqrt{3}z^{5} − 4 = 0 \\ (e) 1 + z + z^{2} + z^{3} + z^{4} + z^{5} = 0 & (f) 1 + z + 2z^{2} + z^{3} + z^{4} + z^{5} = 0 \\ (g) z^{11} − 2i\sqrt{3}z^{5} − 4 = 0 & (h) (z + 1)^{n} − (z − 1)^{n} = 0. \end{matrix}

Inventer des équations que l’on peut résoudre avec les techniques du cours, puis des équations que vous ne savez pas résoudre.