Exercices Alternatifs

Hyperplans et famille de vecteurs en position générale

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2002 Frédéric Le Roux, Panos Papazoglou (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres).

Source: hyperplans.tex.

Version imprimable: hyperplans.pdf Algèbre linéaire. DEUG première année. Angle pédagogique : Ludique.

Objectifs et commentaires. Ce sujet propose une jolie question de mathématiques. La preuve est assez difficile à trouver, bien que la réponse semble intuitivement évidente (quoiqu’en dimension 47 ?...) Après avoir laisser les étudiants explorer la question, on leur “vend” donc un schéma de preuve ; la difficulté consiste alors à comprendre ce schéma (qui implique une récurrence subtile), et à en rédiger tous les détails de la façon la plus convainquante possible. Remarque sur la deuxième partie : on peut aussi montrer la version affine de cette propriété : il existe dans ℝ^{n} une famille infinie de vecteurs telle que dès qu’on en prend n + 1, ils sont affinement indépendants (prendre les vecteurs du type (x, x^{2}, …, x^{n})). Une conséquence intéressante, et immédiate, est un théorème de plongement “du type Whitney” : tout graphe se plonge dans ℝ^{3} (sans point double, contrairement à ℝ^{2}) ; et plus généralement, tout complexe simplicial de dimension k se plonge dans ℝ^{2k+1} (et on comprend bien la raison du “2k + 1”). Le plongement des graphes est probablement à la portée des étudiants de DEUG, et donnerait une motivation intéressante à l’exercice ; malheureusement, celui-ci deviendrait beaucoup plus long.

I. Hyperplans de ℝ^{n}

Le but de cette partie est de résoudre le problème suivant :

Question ℝ^{n} est-il réunion d’un nombre fini d’hyperplans ?

On rappelle qu’un hyperplan dans ℝ^{n} est un sous-espace vectoriel de dimension n − 1.

Question 1. Exploration

a. Cas n = 2 Traduisez le problème en dimension 2. Avez-vous une idée intuitive de la réponse ? Pouvez-vous prouver que votre intuition est juste ?

b. Cas n = 3 Mêmes questions pour n = 3.

c. Cas général Avez-vous une idée de la réponse dans le cas général ? Comment pourrait-on écrire une preuve ?

Question 2. Petites questions

Commencez par répondre aux questions suivantes :

a. Si H_{1} et H_{2} sont deux hyperplans de ℝ^{n}, quelle est la dimension de H_{1} ∩ H_{2} ? b. Même question pour un hyperplan H_{1} et un plan P (c’est-à-dire un sous-espace vectoriel de dimension 2).

Question 3. Aide à la preuve en dimension n ≥ 3

On propose le schéma de preuve suivant :

“On raisonne par récurrence sur la dimension. On considère des hyperplans H_{1}, …, H_{k} dans ℝ^{n}. En utilisant l’hypothèse de récurrence, on trouve un vecteur e_{1} qui est dans H_{1} et qui n’est dans aucun des autres hyperplans. De même, on trouve un vecteur e_{2} qui est dans H_{2} et qui n’est dans aucun des autres hyperplans. On se place ensuite dans le plan P engendré par e_{1} et e_{2}. En étudiant dans P les sous-espaces H_{i} ∩ P, on arrive à la conclusion.”

Il manque bien sûr beaucoup de détails. Rédigez soigneusement une preuve en suivant ce schéma.

II. Famille de vecteurs en position générale

Le but de cette partie est de trouver, dans ℝ^{n}, une famille F contenant une infinité de vecteurs et ayant la propriété suivante : dès qu’on choisit n vecteurs dans la famille F, ils sont linéairement indépendants.

Question 1. Cas n = 2

Traduire la question dans ℝ^{2} ; trouver une famille de vecteurs dans ℝ^{2} qui répond à la question. Pouvez-vous en trouvez d’autres ?

Question 2. Cas n = 3

Traduire la question dans ℝ^{3}. Essayer d’y répondre.

Question 3. Suggestion

On propose d’étudier la famille F contenant tous les vecteurs du type

v(x) = (1, x, x^{2}, … x^{n−1}).

Montrer que cette famille répond au problème. Indication Si n vecteurs sont liés, il existe un hyperplan qui les contient (pourquoi ?) ; quelle est l’équation cartésienne d’un hyperplan de ℝ^{n}?

Question 4. Retour sur la partie I

A l’aide de la famille F, trouver une nouvelle preuve pour la partie I. Indication Combien de vecteurs de la famille F un hyperplan peut-il contenir au maximum ?