Exercices Alternatifs

Intégration d’équivalents

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2001 Frédéric Le Roux (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres).

Source: integration-d-equivalents.tex.
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Fonctions d’une variable réelle. DEUG deuxième année. Angle pédagogique : Découverte.

Objectifs et commentaires. Manipulation d’équivalents, de la définition de la limite, intégration d’inégalités, le tout motivé par un problème ouvert. La rédaction ci-dessous est volontairement la plus concise possible (destinée à un travail en petits groupes, sur une durée assez longue). Voici quelques pistes pour guider les étudiants et éventuellement aller plus loin :

– essayer sur des exemples ; ce qui amène la question : trouver des fonctions simples équivalentes à 1/x (ce qui déjà peut amèner à revenir sur la définition du mot équivalent) ; 1/x, 1/x+1/x^{2}, 1/(x+10), 1/(x+ln(x)) sont des bonnes condidates ;

– la conjecture la plus simple est sans doute “F tend vers +∞”, qu’il est déjà intéressant de prouver ;

– c’est l’occasion de rappeler la propriété fondamentale de positivité de l’intégrale (en pratique, intégration des inégalités) ;

– on peut ensuite montrer qu’en +∞ la fonction F est coincée entre \frac{1}{2}ln et \frac{3}{2}ln ;

– puis prouver que F ∼ ln ;

– on peut enfin s’attaquer à l’énoncé général : si f est équivalente à une fonction g positive dont l’intégrale est divergente, alors les primitives de f et de g sont équivalentes.

Soit f : ℝ^{∗+} → ℝ une fonction (supposée continue pour pouvoir être intégrée), et F une primitive de f. On suppose qu’en +∞, f(x) ∼ \frac{1}{x}.

Que peut-on dire du comportement de F en +∞?

Pour aller plus loin. Proposer une conjecture qui généralise cette situation. Prouver la conjecture...