Exercices Alternatifs

Ordonner les nombres complexes

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2002 Vincent Guirardel (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres).

     Source: ordre complexe.tex.

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Théorie des ensembles, et structures de base. DEUG première année. Angle pédagogique : Méta-mathématiques.

Objectifs et commentaires. Il s’agit ici de faire comprendre aux étudiants pourquoi on n’a pas le droit de comparer deux nombres complexes. Il faut sans doute s’attendre à ce que certains pensent qu’il n’existe pas d’ordre total sur ℂ du tout.

Considérons un ordre total ≺ sur ℂ. Disons qu’un tel ordre est raisonnable si on a les deux propriétés suivantes :

– si a ≺ b, alors a + c ≺ b + c

– si a ≺ b et c ≻ 0, alors ac ≺ bc. Le but de l’exercice est de démontrer qu’il n’existe pas d’ordre raisonnable sur ℂ.

a. Existe-t-il un ordre total sur ℂ?

Supposons maintenant que ≺ soit un ordre raisonnable. On veut aboutir à une contradiction.

b. Démontrer que si x ≻ 0, alors −x ≺ 0.

c. Démontrer que si x ≻ 0 alors x^{2} ≻ 0.

d. Démontrer que si x ≺ 0 alors x^{2} ≻ 0.

e. Déduire des questions précédentes que 1 ≻ 0, et en déduire à la fois que −1 ≺ 0, et −1 ≻ 0, ce qui est impossible.