Exercices Alternatifs

Passage au quotient pour une application

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2002 Vincent Guirardel (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres).

     Source: passage au quotient.tex.
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Théorie des ensembles, et structures de base. DEUG première année. Angle pédagogique : Langage.

Objectifs et commentaires. Le but de l’exercice est d’introduire le passage au quotient d’une application dans la situation la plus simple possible : la parité dans ℤ. Il est en particulier important de donner un exemple d’application qui ne passe PAS au quotient (dernière question).

On définit une relation R sur l’ensemble ℤ des entiers relatifs par :

∀x, y ∈ ℤ : xRy ⇔ x et y ont même parité

(autrement dit, ils sont tous deux pairs ou tous deux impairs).

a. Vérifier qu’il s’agit bien d’une relation d’équivalence.

b. On note \overline{x} la classe d’équivalence de l’entier x et \overline{ℤ} l’ensemble quotient de ℤ par R (donc, l’ensemble des classes d’équivalence).

Combien y a-t-il de classes d’équivalence différentes ?

c. Soient a, b, c des entiers, et soit f(x) = ax^{2} + bx + c. On veut essayer de donner un sens a cette fonction dans \overline{ℤ}, c’est à dire définir une fonction \overline{f}(\overline{x}) à valeurs dans \overline{ℤ} telle que y = f(x), alors \overline{y} = \overline{f}(\overline{x}).

(i). — Montrer que xRy ⇔ x − y pair.

(ii). — Soient a, b, c des entiers, et soit f(x) = ax^{2}+bx+c. En factorisant f(x)−f(y), démontrer l’implication :

∀x, y ∈ ℤ : xRy ⇒ f(x)Rf(y).

(iii). — Comment peut-on alors définir \overline{f} ?

d. Montrer qu’il existe une application g de ℤ dans lui-même qui, à un entier x, associe g(x) = \frac{x^{2}+x}{2}. Est-il possible de définir d’une application \overline{g} : \overline{ℤ} → \overline{ℤ} telle que, si y = g(x), alors \overline{y} = \overline{g}(\overline{x}) ?