Exercices Alternatifs

Problème de fit (moindres carrés).

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2002 Vincent Guirardel (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres).

     Source: probleme de fit.tex.

Version imprimable: probleme de fit.pdf

Algèbre linéaire. DEUG deuxième année. Angle pédagogique : À quoi ça sert.

Objectifs et commentaires. Faire retrouver à l’étudiant la méthode des moindres carrés sur un exemple. Beaucoup d’étudiants ont du mal à travailler dans l’espace de dimension 4 et n’arrivent pas à se détacher du dessin (plan) fait dans la première question. Ce genre de problème peut aussi amener les étudiants à comprendre que, pour modéliser des situations concrètes, il faut parfois se placer dans des espaces de dimension plus grande que 3.

Vous avez une batterie. Vous voulez déterminer ses caractéristiques : force électromotrice E et résistance interne r. Cela signifie que vous cherchez à modéliser cette batterie par un dipole tel que U = E − rI (où U est la différence de potentiel entre les deux bornes du dipole, et I est l’intensité le traversant).

Vous faites donc une série de mesures. Vous trouvez les résultats suivants :

Mesure N^{o}  1 2 3 4
Intensité mesurée (A) 0 0,1 0,4 1
Tension mesurée (V) 12 11 7 1

a. Faire un dessin. Peut-on trouver E et r de sorte que le modele soit exact ? Donner une justification géométrique.

b. On pose X = (\begin{matrix}E \\ r \end{matrix}). Écrire les équations qui doivent être satisfaites par E et r (pour

que le modèle soit exact) sous la forme A.X = b où A est une matrice, et b un vecteur. Donner une justification algébrique de la question précédente.

c. On cherche donc E et r (c’est à dire X) de sorte que le modèle soit le meilleur possible vis à vis des données disponibles. Pour nous, le meilleur modèle possible sera celui pour lequel ||AX − b||^{2} est minimum. (On aurait pu choisir une autre définition, mais celle-là est la plus simple à résoudre. On l’appelle souvent : les moindres carrés.) Expliciter la valeur de ||AX − b||^{2} et traduire plus concrètement la condition des moindres carrés.

d. Démontrer que X_{0} réalise le minimum de la fonction X ↦ ||A.X −b||^{2} si et seulement si A.X_{0} − b est orthogonal à Im A.

e. Montrer que (Im A)^{⊥} = ker^{t}A.

f. En déduire l’unique vecteur Y ∈ Im A tel que ||Y − b||^{2} soit minimum.

g. Trouver la meilleure solution approchée du système. h. Autre probleme de fit. Maintenant vous avez un échantillon formé de trois composés radioactifs A, B, C (et d’autres composés non radioactifs). Vous connaissez leurs demi-vies : par exemple τ_{A} = 1 jours, τ_{B} = 3 jours et τ_{C} = 10 jours. On cherche à déterminer la composition initiale de l’échantillon. Le nombre de désintégrations par seconde de A s’écrit donc d_{A} = N_{A}2^{−t/tau_{A}} où N_{A} est le nombre initial d’atomes A. Vous mesurez le nombre de désintégrations par seconde dans l’échantillon (avec un compteur Geiger) au cours du temps. Question : trouver les valeurs de N_{A}, N_{B} et N_{C} qui correspondent le mieux aux mesures effectuées.

Temps (jours)  0 1 2 3 4
Nombre de désintégrations par secondes (×10^{9}) 10 2,7 1,3 0,6 0,3