Exercices Alternatifs

Plusieurs questions sur un système.

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2001 Vincent Guirardel (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres).

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Algèbre linéaire. DEUG première année. Angle pédagogique : Métamathématiques.

Objectifs et commentaires. Le but de cet exercice, est de mettre en évidence le fait qu’il y a plusieurs questions à se poser sur un système d’équations à part sa résolution.

Lorsqu’on a un système d’équations, il n’y a pas que sa résolution qui est intéressante. On peut se poser d’autres questions : est-ce que le système admet au moins une solution ? Est-ce qu’il en admet une unique ?

a. On considère le système suivant :

(S) \begin{cases}x + y + z + t & = & a \\ x − y − z − t & = & b \\ −x − y + t & = & c \\ −3x + y − 3z − 7t & = & d \end{cases}

1. A quelle condition (S) admet-il une solution ?

2. Montrer que si a, b, c, d > 0 alors (S) n’a pas de solution.

3. Quel est l’ensemble des solutions du système homogène associé ?

b. Soit A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & −1 & −1 \\ −1 & −1 & 0 & 1 \\ −3 & 1 & −3 & −7 \end{matrix} ) et X = (\begin{matrix}x \\ y \\ z \\ t \end{matrix}). Soit f : ℝ^{4} → ℝ^{4} définie par

f(X) = A.X.

1. Calculer f(X). Montrer que f est linéaire.

2. Quelle est sa matrice dans la base canonique de ℝ^{4} ?

3. f est-elle surjective ? injective ? Trouver l’image et le noyau de f.

4. f est-elle inversible ?

5. Le vecteur (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) appartient-il à l’image de f ? au noyau de f ?

1. Le vecteur V = (\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) appartient-il à l’espace vectoriel engendré par V_{1} =

(\begin{matrix}1 \\ 1 \\ −1 \\ −3 \end{matrix} ) , V_{2} = (\begin{matrix}1 \\ −1 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ) , V_{3} = (\begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \\ −3 \end{matrix} ) , V_{4} = (\begin{matrix}1 \\ −1 \\ 1 \\ −7 \end{matrix} )?

2. Ces 4 vecteurs sont-ils linéairement indépendants ?