Exercices Alternatifs

Puissances des racines 90èmes de l’unité

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2001 Frédéric Le Roux (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres).

Source: racines-90.tex.

Version imprimable: racines-90.pdf Nombres complexes. DEUG première année. Angle pédagogique : Expérimental.

Objectifs et commentaires. Savoir expérimenter pour découvrir une formule ; un peu de théorie des groupes sans le dire... Expérience : un étudiant motivé peut trouver la formule ; la preuve est beaucoup plus délicate.

Soit z un nombre complexe qui est une racine 90ème de l’unité. On considère toutes les puissances positives de z :

z^{0}, z^{1}, z^{2}, z^{3}, …

Combien obtient-on ainsi de nombres complexes distincts ?

Autrement dit, quel est le cardinal de l’ensemble

G_{z} = {z^{k}|k ∈ ℕ} ?

Suggestion Expérimentez !