Exercices Alternatifs

Formes quadratiques en relativité

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2001 Vincent Guirardel (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres).

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Algèbre linéaire. DEUG deuxième année. Angle pédagogique : À quoi ça sert.

Objectifs et commentaires. Faire remarquer que les formes bilinéaires non positives sont utilisées en physique. La relativité restreinte est basée sur l’invariance de la forme de Lorentz.

En relativité, contrairement à l’adage, tout n’est pas relatif. Les longueurs et le temps sont effectivement des quantités relatives – c’est à dire qui dépendent du référentiel dans lequel on se place. Cependant, il y a un absolu en relativité : c’est la forme de Lorentz. Dans certaines bases privilégiées, la forme de Lorentz s’exprime par la formule L(x, y, z, t) = x^{2}+y^{2}+z^{2}−c^{2}t^{2} (où c est la vitesse de la lumière dans le vide). En particulier, le fait qu’un objet aille à la vitesse de la lumière signifie que son quadrivecteur vitesse V⃗ (v_{x}, v_{y}, v_{z}, 1) satisfait L(V⃗) = 0. Comme la forme de Lorentz ne dépend pas du référentiel, la quantité L(V⃗) est indépendante du référentiel choisi, donc le fait d’aller à la vitesse de la lumière est indépendant du référentiel choisi – ce qui ne peut pas être vrai en mécanique newtonnienne d’après la loi d’additivité des vitesses.

a. On dit que V⃗ est dans le cône de lumière lorsque L(V⃗) = 0. Voyez-vous pourquoi ?

b. Quels sont le rang et la signature de la forme de Lorentz L?

c. Existe-t-il une base dans laquelle la forme de Lorentz a la forme q(x) = x^{2} − 4xy + yt − zt + t^{2} ?