Exercices Alternatifs

Manipulation du Signe Somme

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2001 Frédéric Le Roux (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres).

     Source: signe-somme.tex.

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Séries. DEUG deuxième année. Angle pédagogique : Langage.

Objectifs et commentaires. Décomplexer les étudiants face à ce signe nouveau. Les faire réfléchir sur les variables locales (on dit parfois “muettes”) et globales, et sur les changements d’indice. Ces exercices semblent être un préliminaire indispensable à l’étude des séries, d’autant plus qu’ils posent de réels problèmes aux étudiants. Suggestion : l’idéal serait que les étudiants s’approprient vraiment ce symbole. Pour ça, un moyen consiste à leur faire inventer des formules l’utilisant... Exercice à compléter !

Question 1 : écriture avec ou sans signe ∑.

a. Ecrire sans ∑ :

∑_{n=0}^{N}(−1)^{n}, ∑_{p=1}^{n} p, ∑_{p=1}^{n} n, ∑_{p=1}^{n} \frac{n}{p}

b. Ecrire avec ∑ :

1 − \frac{1}{3} + \frac{1}{5} − \frac{1}{7} + ⋯

Question 2 : variables de comptage. Les égalités suivantes sont-elles vraies :

∑_{p=1}^{n}(p × n) = ∑_{k=1}^{n}(k × n) = n × ∑_{k=1}^{n} k = k × ∑_{k=1}^{n} n

Question 3 : substitution. Soit

S_{n} = ∑_{p=1}^{2n^{2}} \frac{1}{\sqrt{p}}.

c. Combien y a-t-il de termes dans cette somme ?

d. Ecrire la somme S_{2n}. Combien contient-elle de termes ?

e. Soit S_{2n}^{impair} la somme des termes de S_{2n} d’ordre impair (obtenus pour p=1, 3, 5, ...). On définit de même S_{2n}^{pair} ; on a donc S_{2n} = S_{2n}^{impair} + S_{2n}^{pair}. Ecrire les sommes S_{2n}^{pair} et S_{2n}^{impair}.

Question 4. Calculez les sommes suivantes :

∑_{k=1}^{n} ∑_{p=0}^{k} p, ∑_{k=1}^{n} ∑_{p=0}^{k} k, ∑_{k=1}^{n} ∑_{p=0}^{k} n.

Question 5. Soit

S_{N} = ∑_{n=0}^{N} \frac{1}{n + N} .

De quelle série est-ce la somme partielle ?