Exercices Alternatifs

Calcul de la longueur d’une spirale

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2001 Frédéric Le Roux (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres).

Sources et figures: spirale/. Version imprimable: spirale.pdf Séries. DEUG deuxième année. Angle pédagogique : Visualisation.

Objectifs et commentaires. Visualiser géométriquement des séries : ici, la spirale est constituée d’une infinité de segments, sa longueur s’obtient donc comme la somme d’une série. On s’est arrangé pour qu’il ne s’agisse pas d’une série géométrique (contrairement à la plupart des exemples simples de séries en géométrie). Voir un contexte où une série apparait naturellement.

Fig. 1: construction d’une spirale

Sur la figure 1, le cercle est de rayon 1 et on donne les longueurs des segments OA_{n} : l_{n} = 1/n. Calculer la longueur de la spirale.

Aide : dans un triangle de côtés c_{1}, c_{2} et c_{3}, on a c_{3}^{2} = (c_{2} − c_{1}cosα)^{2} + (c_{1}sinα)^{2}, où α est l’angle entre les côtés c_{1} et c_{2}.