Exercices Alternatifs

Transformation de graphes de fonctions, version longue

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2004 Frédéric Le Roux (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres).

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Fonctions d’une variable réelle. DEUG première année. Angle pédagogique :

Visualisation.

Objectifs et commentaires. Cet exercice relie géométrie et formules, de manière progressive.

Question 1. Expérimentation

a. Dessiner le graphe de la fonction exponentielle.

b. En vous aidant éventuellement d’une calculatrice graphique, dessiner sur le papier les graphes des quatre fonctions suivantes : − exp(x) ; exp(x) + 1 ; exp(x) − 1 ; 2 exp(x).

Par quelles transformations géométriques passe-t-on du graphe de l’exponentielle aux graphes tracés ?

c. Mêmes questions pour les quatre fonctions exp(−x) ; exp(x + 1) ; exp(x − 1) ; exp(2x).

Question 2. Énoncé des correspondances

a. Relier chaque formule à la transformation géométrique qui lui correspond. 1. −f(x) ; 2. f(x) + 1 ; 3. f(x) − 1 ; 4. 2f(x) ; 5. f(−x) ; 6. f(x + 1) ; 7. f(x − 1) ; 8. f(2x).

1. translation vers le haut ;

2. translation vers le bas ;

3. translation vers la gauche ;

4. translation vers la droite ;

5. symétrie par rapport à l’axe des abscisses ;

6. symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ;

7. dilatation d’un facteur 2 dans le sens vertical ;

8. dilatation d’un facteur 1/2 dans le sens horizontal.

b. Quelle formule correspond à une homothétie de rapport 2, centrée en l’origine ? À une rotation d’un demi-tour, centrée en l’origine ?

Question 3. Applications

Tracer le plus rapidement possible les graphes des applications suivantes. On commencera par tracer le graphe de la fonction élémentaire utilisée (sinus, cosinus, etc.). On pourra vérifier le dessin à l’aide d’une calculatrice graphique. a. f_{1}(x) = sin(x) + 1 ; f_{2}(x) = − cos(x) ; f_{3}(x) = ln(−x) (test de la réponse : quel est son ensemble de définition ?) ; f_{4}(x) = 2\sqrt{x}; f_{5}(x) = sin(2x) ; f_{6}(x) = \sqrt{x + 1} (tester l’ensemble de définition).

b. Plus difficile : f_{7}(x) = 2 sin(x) + 1 ; f_{8}(x) = ln(2x + 1) ; f_{9}(x) = sin(2x) + 1 ; f_{10}(x) = 2 ln(x + 1).

En déduire le tableau de variations de chacune de ces fonctions, sans calcul de dérivée.

Question 4. Une démonstration

a. Soit H l’homothétie du plan ℝ^{2} centrée en l’origine et de rapport 1/2. Donner une formule pour H(x, y).

b. Soit f une fonction de ℝ dans ℝ, et G son graphe. Démontrer que le graphe de la fonction x ↦ \frac{1}{2}f(2x) est l’image de G par l’homothétie H.