Exercices Alternatifs

Tableau de variations sans dériver

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2007 Frédéric Le Roux (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres).

     Source: variations-sans-deriver.tex.
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Fonctions d’une variable réelle. DEUG première année. Angle pédagogique :

Visualisation.

Objectifs et commentaires. Cet exercice fait voir comment on peut déterminer le sens de variation de fonctions simples sans calcul de dérivée.

Question 1.

Rappeler rapidement les sens de variation des fonctions usuelles suivantes : x ↦ ax + b (a, b constantes) ; x ↦ e^{x}; x ↦ x^{2} ; x ↦ x^{3} ; x ↦ \sqrt{x}; x ↦ ln(x) ; x ↦ 1/x.

Question 2.

Déterminer, en imitant l’exemple et sans calcul de dérivée, le tableau de variation des fonctions suivantes. On commencera par donner l’ensemble de définition.

– f_{1} : x ↦ e^{2x+1} ; ; – f_{2} : x ↦ \sqrt{−x}; ; – f_{3} : x ↦ \sqrt{e^{x} + 2} ; ; – f_{4} : x ↦ ln(x^{2} + 1) ;  – f_{5} : x ↦ \frac{1}{x+2} ; ; – f_{6} : x ↦ \frac{1}{1+1/x}. ; – f_{7} : x ↦ ln(x)^{2}.

Exemple pour f_{4} La fonction f_{4}(x) est définie sur ℝ.

1. Sur l’intervalle ] − ∞, 0], lorsque x croît, x^{2} + 1 décroît entre +∞ et 1 ; donc son logarithme décroît entre +∞ et ln(1).

2. Sur l’intervalle [0, +∞[, lorsque x croît, x^{2} + 1 croît entre 1 et +∞; donc son loga-

rithme croît entre ln(1) et +∞. D’où la tableau de variation complet...

Remarque On utilise que la composée de deux fonctions croissantes est croissante, la composée d’une fonction croissante et d’une fonction décroissante est décroissante, etc..