\Annee{2002}
\Titre{D\'eformer un carr\'e en un cercle}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{Arnaud \textsc{Ch\'eritat}}


\Date{2002/07/26} 
\Niveau{\DEUGii} 
\NiveauxSecondaires{}
\AnglePedagogique{\Visualisation}
\AnglesSecondaires{\Ludique}
\Theme{\Topologie}
\ThemesSecondaires{\FonctionsPlusieursVars}
\Objectif{Cet exercice peut constituer une introduction \`a la notion
d'hom\'eomorphisme. Il a aussi l'int\'er\^et de demander aux \'etudiants de
mod\'eliser une d\'eformation d\'ecrite g\'eom\'etriquement par une formule. On
fait ainsi appara\^{\i}tre une utilisation ``concr\`ete'' d'une fonction
de trois variables. 

On peut visualiser la déformation avec un petit programme, par exemple
en Maple, disponible sur le site d'EXEMAALT :

\centerline{\href{\repertexos Carre-en-cercle/Carre-en-cercle.mws}{\repertexosAffichable Carre-en-cercle/Carre-en-cercle.mws}}

Les formules pour déformer un bateau en un crabe sont malheureusement
un peu plus compliquées...
}

\begin{exo}
On travaille dans le plan. Soit $S$ le cercle de centre $(0,0)$ et de
rayon $1$, et $C$ le carr\'e de sommets $(1,1)$, $(-1,1)$, $(-1,-1)$ et
$(1,-1)$ (voir la figure).
%
% Le dessin suivant repr\'esente un cercle inscrit dans un carr\'e. Des
% rayons partent du carr\'e en direction du centre du cercle. Ils se 
% terminent sur le cercle par une fl\`eche, et certains se prolongent en
% pointill\'es \`a l'int\'erieur du cercle jusqu'\`a son centre.
% Un point du carr\'e est not\'e v_1, le point du cercle correspondant est
% not\'e v_2, la demi-droite correspondante est not\'ee \Delta.

\begin{figure}[ht!]
\par
\centerline{\hbox{\input{Carre-en-cercle-figure.pstex_t}}}
\par
\caption{L'application $g$}
\end{figure} 


On voudrait construire une application $g$ du plan dans lui-m\^eme qui
envoie le carr\'e $C$ sur le cercle $S$.
L'id\'ee de la construction est donn\'ee par la figure, voici des pr\'ecisions~: 
\begin{enumerate}
\item l'application $g$ fixe le point $O=(0,0)$~; 
\item pour chaque demi-droite $\Delta$ issue de $O$,
 $\Delta$ coupe le carr\'e $C$ en un (unique) point $v_1$, et le
cercle $S$ en un (unique) point $v_2$. En restriction \`a $\Delta$, $g$
co\"{\i}ncide avec l'unique homoth\'etie qui envoie $v_1$ sur $v_2$.
\end{enumerate}

\qst{Formule}
Donner une formule pour une application $g$ ayant les propriétés requises.
\paragraph{Petite aide} Quelles est la norme qui a pour boule unité le disque dessiné sur la
figure~? M\^eme question pour le carré. On peut
utiliser ces deux normes...

\paragraph{Grosse aide}\footnote{Adapter l'aide au niveau de
difficulté cherché~; si l'on a assez de temps, le plus intéressant est
probablement de ne pas donner d'aide du tout
(m\^eme si, dans ce cas, les étudiants ne suivront sans doute pas la
piste la plus courte).}
\sq Soit $v$ un vecteur non nul du plan, et $\Delta_v$ la demi-droite
   issue de $O$ contenant $v$. Donner, en fonction de $v$, les
   vecteurs $v_1$ et $v_2$  intersection de $\Delta_v$ avec le carr\'e et le
   cercle (indication : utiliser la norme euclidienne
   $\|v\|_2$ et la ``norme infini'' $\|v\|_\infty$). 

\sq Donner le rapport de l'homoth\'etie qui envoie $v_1$
sur $v_2$~: en fonction de $v_1$~; puis en fonction de $v$.

\sq Donner $g(v)$ en fonction de $v$.

\qst{R\'eciproque} 
\sq On d\'efinit une application $h$ de mani\`ere similaire \`a l'application
$g$ ci-dessus, mais en inversant les r\^oles du carr\'e et du cercle.
En vous inspirant du A, donner une formule pour $h$.

\sq V\'erifier que  $g$ et $h$ sont deux applications r\'eciproques.

\qst{Continuit\'e} Montrer que $g$ et $h$ sont continues.

\qst{D\'eformation} On voudrait maintenant
 ``d\'eformer progressivement le carr\'e $C$ vers le cercle $S$''. Pour
 faire ça, on rajoute un param\`etre ``temps'' $t \in [0,1]$. Soit $v$
 un point du carr\'e, on notera
 $g_t(v)$ la position de $v$ au temps $t$. On veut avoir les
 propri\'et\'es suivantes~: $g_0(v)=v$~; $g_1(v)$ est le point $g(v)$ du
 cercle $S$~; et quand $t$ varie entre $0$ et $1$, $g_t(v)$ parcourt
 le segment $[v \ g(v)]$ \`a vitesse constante.

Donner une formule pour $g_t(v)$. Dessiner l'image du carr\'e $C$ par
l'application  $g_\frac{1}{2}$ (que deviennent les coins du carr\'e~?...).

Expliquer comment on peut utiliser cette formule pour r\'ealiser un
programme sur ordinateur qui affiche la d\'eformation.


\vspace{1cm}
\paragraph{Commentaire}
Une application bijective, continue, et dont la
r\'eciproque est continue est appel\'ee un \emph{hom\'eomorphisme}~:
ainsi, les applications $g$ et $h$ ci-dessus
sont des hom\'eomorphismes du plan dans le plan.
\end{exo}
