\Annee{2001}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Date{2002/02/18}

\Niveau{\DEUGii} 
                
\NiveauxSecondaires{}
\AnglePedagogique{\Experimental} 
\AnglesSecondaires{\Ludique,\Decouverte} 
\Theme{\Topologie} 
\ThemesSecondaires{Polyh\`edres} 
\Titre{Introduction \`a la topologie : la caract\'eristique d'Euler-Poincar\'e}
%Topologie des surfaces ?
\Objectif{La topologie est, parmi les mati\`eres enseign\'ees en DEUG, l'une
  de celles o\`u la d\'emarche scolaire est la plus \'eloign\'ee de l'intuition.
 Paradoxalement,
  c'est aussi l'une des branches des maths les plus vulgaris\'ees. On
  essaie ici de faire en sorte que ``les deux bouts se rejoignent''~:
  \`a l'issue d'une exploration informelle dont le but est d'amener les
  \'etudier \`a ``penser topologiquement'', on introduit formellement la notion
  d'hom\'eomorphisme, qui est l'un des concepts centraux de la topologie.
C'est aussi un pr\'etexte pour faire d\'ecouvrir la caract\'eristique
  d'Euler-Poincar\'e, et un tr\`es beau r\'esultat math\'ematique, sans attendre
  un cours d'homologie en DEA~!

Notons que \textbf{la partie~\ref{par:surfaces} ne doit pas \^etre lue avant d'avoir
r\'esolu la partie~\ref{par:polypoly}}, puisqu'elle contient la formule d'Euler que
l'\'etudiant doit d\'ecouvrir dans la partie~\ref{par:polypoly}.

Ce texte s'inspire par endroits du texte
\href{http://www.geom.uiuc.edu/docs/education/institute91/}{Geometry and
  the imagination}.
}


\begin{exo}
\section*{Introduction}
La topologie est \`a la fois une branche des math\'ematiques (o\`u la
recherche est encore tr\`es active), et une ``boite \`a outils'' utilis\'ee dans
toutes les autres branches des maths.  Si l'on veut d\'efinir les concepts
topologiques formellement, on s'appuie sur la th\'eorie des ensembles~;
apr\`es un chemin assez long (allant du DEUG \`a la Ma\^{\i}trise), on arrive \`a
d\'efinir et \`a \'etudier math\'ematiquement des objets comme les surfaces et
leur g\'en\'eralisation en dimensions sup\'erieures.

Ici, on va faire le choix inverse : pour une fois, nous allons raisonner
sur des \emph{objets non formalis\'es}, c'est-\`a-dire sans donner de
d\'efinition pr\'ecise, en se contenant d'id\'ees intuitives.  L'inconv\'enient
est que ce flou sur les d\'efinitions se retrouve dans les d\'emonstrations
: on aura un peu moins de certitude que d'habitude sur les r\'esultats
obtenus.  L'avantage est qu'on n'est pas oblig\'e d'attendre la Ma\^{\i}trise
de maths pour \'etudier les surfaces...

A la fin, on essaiera de faire le lien entre les objets informels vus ici
et le point de vue formel des cours de maths habituels.



%******************************************************
\partie{Poly\`edres et polyg\^ones}\label{par:polypoly}
 \qst{Comptabilit\'e} Comptez le nombre
de sommets, d'ar\^etes et de faces pour les poly\`edres des
 figures~\ref{fig:polyedres1}, \ref{fig:polyedres2},
\ref{fig:polyedres3} et~\ref{fig:polyedres4}.
  Remplissez le tableau suivant.

\vspace{0.5cm}
\noindent
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|}
\hline &  $n^0$ 1&    $n^0$ 2&    $n^0$ 3&   $n^0$ 4&
  $n^0$ 5&   $n^0$ 6&   $n^0$ 7 \\ \hline sommets &&&&&&&\\
&&&&&&&\\ \hline ar\^etes &&&&&&&\\ &&&&&&&\\ \hline faces &&&&&&&\\ &&&&&&&\\ \hline
\end{tabular}

%?
\begin{figure}[h!t]
\begin{center}
\includegraphics[height=5cm,width=5cm]{POLY01dots.eps}
\includegraphics[height=5cm,width=5cm]{POLY02dots.eps}
\caption{Exemples de poly\`edres (1)}
\label{fig:polyedres1}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[h!t]
\begin{center}
\includegraphics[height=5cm,width=5cm]{POLY03dots.eps}
\includegraphics[height=5cm,width=5cm]{POLY06dots.eps}
\caption{Exemples de poly\`edres (2)}
\label{fig:polyedres2}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[h!t]
\begin{center}
\includegraphics[height=5cm,width=5cm]{POLY04dots.eps}
\includegraphics[height=5cm,width=5cm]{chapiteau-complet.eps}
\caption{Exemples de poly\`edres (3)}
\label{fig:polyedres3}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[h!t]
\begin{center}
\includegraphics[height=7cm,angle=-90]{echidnahedre-col.eps}
\caption{Et un dernier polyh\`edre ??...}
\label{fig:polyedres4}
\end{center}
\end{figure}




%\hbox{
%\epsfbox{chapiteau-fdf1.eps}
%\epsfbox{chapiteau-cac3.eps}
%}


\qst{La relation d'Euler}
Le math\'ematicien Euler a trouv\'e une formule tr\`es simple
 reliant le nombre de sommets, d'ar\^etes et de faces, 
et \emph{valable dans tous les poly\`edres}. A l'aide des exemples de la question pr\'ec\'edente,
 pouvez-vous retrouver cette relation ?



\qst{Cas des polyg\^ones du plan}
\label{qst:poly}
Dessinez un polyg\^one (triangle, carr\'e, \textit{etc.}), et d\'ecoupez-le
en un certain nombre de polyg\^ones plus petits. Ici encore, comptez le
nombre de sommets, d'ar\^etes et de petits polyg\^ones. Quel relation y
a-t-il entre ces trois nombres ? Essayez d'autres exemples.

\qst{Preuves informelles} Pouvez-vous justifier cette derni\`ere relation
par un raisonnement ?

Pouvez-vous justifier la formule d'Euler ?
%ici, il est probable qu'on va commencer \`a d\'eformer contin\^ument...

\'Enoncez les deux r\'esultats prouv\'es dans un th\'eor\`eme.


%\pagebreak
%******************************************************
\partie{Les surfaces, objets topologiques}\label{par:surfaces}
Dor\'enavant, on notera toujours $S$ le nombre de sommets, $A$ le nombre
d'ar\^etes et $F$ le nombre de faces.  On a donc obtenu les r\'esultats
suivants~:
%? a distribuer apres la premiere partie !
\begin{enonce1*}{Th\'eor\`eme}{(poly\`edres)}
Pour tout poly\`edre, le nombre $S-A+F$ vaut $2$.
\end{enonce1*}

\begin{enonce1*}{Th\'eor\`eme}{(d\'ecoupages des polyg\^ones)}
Pour tout d\'ecoupage d'un polyg\^one du plan, le nombre $S-A+F$ vaut $1$.
\end{enonce1*}

Ces deux th\'eor\`emes concernent les poly\`edres et les polyg\^ones, qui
sont des objets g\'eom\'etriques. Nous allons maintenant examiner ces
th\'eor\`emes sous l'angle de la topologie.
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{topologie.eps}
\caption{\label{fig:topologie}
Un carr\'e se d\'eformant en cercle, et un tore se changeant en
  tasse \`a caf\'e}
\end{center}
\end{figure}

Sur la plan intuitif, on peut dire que la topologie est une g\'eom\'etrie
``molle'', qui aurait oubli\'e comment \'evaluer les notions g\'eom\'etriques de
distance et d'angle~; c'est la th\'eorie math\'ematique o\`u l'on s'autorise \`a
\'etirer, comprimer, tordre une forme, mais sans la d\'echirer ou la
coller, et sans l'\'ecraser. Quand on peut passer d'une forme \`a une autre par ce type de
d\'eformations, on dit qu'elles sont \emph{topologiquement
\'equivalentes}. Ainsi, un carr\'e est topologiquement \'equivalent \`a un
cercle, puisqu'on peut d\'eformer contin\^ument un carr\'e en un cercle
(voir figure~\ref{fig:topologie}). Un
autre exemple est donn\'e par la surface d'un tore (comme les bou\'ees en
caoutchouc)  et celle d'une tasse \`a caf\'e
 (avec une anse).\footnote{On peut bien sur d\'efinir de mani\`ere pr\'ecise (en termes de
th\'eorie des ensembles) l'\'equivalence topologique (voir la fin du
texte)~; mais nous allons nous contenter de raisonner avec cette
d\'efinition intuitive.}
%?


\qst{Les lettres}
%optionnel
Comme premier exercice de topologie informelle, regardons les lettres de
l'alphabet (en capitales, et sans enluminures) comme des dessins dans
le plan.
  Parmi ces lettres, lesquelles sont topologiquement
\'equivalentes, lesquelles sont topologiquement diff\'erentes~? Combien y
a-t-il de lettres dans l'alphabet d'un topologue~?
%r\'eponse : une dizaine, quand m\^eme !

\qst{Construction de quelques surfaces} \label{qst:surfaces}

\begin{figure}[h!t]
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{cube.eps}
\caption{\label{fig:cube}
Un cube, et trois petits morceaux que l'on peut d\'eformer en un
disque. Par contre, le dessin de droite n'est pas topologiquement
\'equivalent \`a un disque.}
\end{center}
\end{figure}

Une \emph{surface}\footnote{En
termes savants, on dit aussi \emph{vari\'et\'e de dimension 2.}} est une
forme dont \emph{tous les morceaux assez petits sont topologiquement
\'equivalents \`a un petit disque du plan}. Par exemple, la surface d'un cube
est une surface, qui est topologiquement \'equivalente \`a la surface d'une
sph\`ere\footnote{Attention \`a ne pas confondre la \emph{surface} de la
  sph\`ere avec le volume qu'elle renferme (ce volume est une vari\'et\'e de
  dimension~3, ce n'est bien s\^ur pas une surface).}.
 Par contre, si vous rajoutez un mur dans le cube (vous changez
le studio en un deux-pi\`eces~!), la r\'eunion des murs n'est plus une
surface, parce qu'il y a des points en lesquels trois cloisons se
rencontrent, et que cette forme n'est pas topologiquement \'equivalente \`a
un disque du plan. Ceci est illustr\'e sur la figure~\ref{fig:cube}.



\sq[(question optionnelle)] Citez des surfaces topologiquement \'equivalentes \`a la sph\`ere. Citez
des surfaces qui ne sont pas topologiquement \'equivalentes \`a la
sph\`ere. Combien de sortes topologiques de surfaces connaissez-vous ?
%ici, on devrait voir que les polyedres sont topologiquement des sph\`eres, (ce qui nous donnera ensuite plein de triangulations de la sph\`ere).

\sq[Papier et ciseaux] \label{sq:ciseaux} D\'ecoupez des bandes de papier, et recollez les
extr\'emit\'es de diff\'erentes mani\`eres : sans demi-tour (on obtient un
\emph{anneau})~; avec un demi-tour (on obtient un \emph{ruban de
M\"obius})~; avec deux demi-tours~; avec trois demi-tours.

\sq D\'ecoupez chacune des surfaces selon le milieu de la bande d'origine
(le m\'eridien). Que se passe-t-il ?




%******************************************************
\partie{Triangulations des surfaces, et caract\'eristique
d'Euler-Poincar\'e}
\begin{figure}[ht]
 \begin{center}
\includegraphics[height=3.5cm]{triangulation.eps}
\end{center}
\caption{\label{fig:triangulation} Deux triangulations topologiquement \'equivalentes}
\end{figure}
 Une \emph{triangulation} d'un polyg\^one du plan est
un dessin comme ceux de la figure \ref{fig:triangulation}, constitu\'e
d'un certain nombre de \emph{sommets} et d'\emph{ar\^etes}
(\'eventuellement courb\'ees) reliant les sommets, de mani\`ere \`a ce que si
vous d\'ecoupez selon les ar\^etes, le plan se retrouve d\'ecompos\'e en
``polyg\^ones tordus'', c'est-\`a-dire en morceaux topologiquement
\'equivalent \`a des polyg\^ones\footnote{Sauf la partie non born\'ee.}. Ces
polyg\^ones topologiques sont appel\'es \emph{faces} de la
triangulation.\footnote{On devrait peut-\^etre dire
  \emph{polygonulation} plut\^ot que triangulation...}

Ainsi, les d\'ecoupages de polyg\^ones (question \ref{qst:poly} de la
partie pr\'ec\'edente) \'etaient des cas particuliers de triangulations du
plan (avec des ar\^etes non courb\'ees).


Deux triangulations sont consid\'er\'ees comme identiques si on peut passer
de l'une \`a l'autre en d\'eformant contin\^ument le plan. Ainsi, les deux
triangulations de la figure \ref{fig:triangulation} sont consid\'er\'ees
comme \'etant les m\^emes.

On d\'efinit de la m\^eme mani\`ere une triangulation sur la sph\`ere, ou sur
une autre surface.  Chacun des poly\`edres de la premi\`ere partie d\'efinit
une triangulation de la sph\`ere, voyez-vous pourquoi~?




Faisons la remarque suivante : \emph{les raisonnements \`a la fin de la
premi\`ere partie n'utilisaient pas le fait que les ar\^etes des
triangulations n'\'etaient pas courb\'ees. Par cons\'equent, le th\'eor\`eme sur
les d\'ecoupages de polyg\^ones se g\'en\'eralise aux triangulations du plan :}

%a distribuer apres la premi\`ere partie !! %?
\begin{enonce1*}{Th\'eor\`eme}{(triangulation des polyg\^ones)}
Pour toute triangulation d'un polyg\^one du plan, le nombre $S-A+F$ vaut
$1$.
\end{enonce1*}




\qst{} Le but de cette question est de savoir ce que deviennent les
r\'esultats de la premi\`ere partie (concernant le nombre $S-A+F$ pour les
poly\`edres et les polyg\^ones du plan) pour les autres surfaces.

Pour quelques-unes des surfaces suivantes (au choix), dessiner une
triangulation (ou plusieurs), et calculez le nombre $S-A+F$~:
\begin{itemize}
\item un disque (Remarque : \emph{on l'a d\'ej\`a fait...}).
\item une sph\`ere (Remarque : ça aussi on l'a d\'ej\`a fait !!)
\item un cylindre ou un anneau\footnote{C'est-\`a-dire la forme du rouleau de carton
    autour duquel on enroule du sopalin, que l'on a d\'ej\`a vue \`a la
    question~\ref{par:surfaces}.\ref{qst:surfaces}.\ref{sq:ciseaux}.}
 (Aide : comment le dessiner de mani\`ere agr\'eable dans le
plan ? Pensez \`a ce qu'un topologue a le droit de faire...).
\item un ruban de M\"obius (Aide : c'est plus facile de dessiner sur la
bande de d\'epart qu'apr\`es le recollement, en \emph{imaginant} qu'on va
recoller la bande ensuite...).
\item un tore (Aide~: comment le dessiner dans le plan ? Pensez \`a ce qu'on a
fait pour le ruban de M\"obius, et aussi aux jeux vid\'eos du style ``PacMan''...)
\item un disque avec deux trous\footnote{Cette surface s'appelle un
    \emph{pantalon}~; voyez-vous pourquoi~?}.
\item une bouteille de Klein, un tore avec un trou...
\end{itemize}
\qst{} \'Enoncez les g\'en\'eralisations du th\'eor\`eme de triangulation des
polyg\^ones aux surfaces que vous avez \'etudi\'ees.

\qst{Application} 
\sq Dire sans calcul ce que vaut le nombre $S-A+F$ pour le
poly\`edre de la figure~\ref{fig:polyedres4}, puis pour celui de la
figure~\ref{fig:tore}.

\begin{figure}[ht]
\centerline{\includegraphics[height=4cm,width=10cm]{tore-dots.eps}}
\caption{\label{fig:tore} Quelle est cette surface~?}
\end{figure}
\sq Imaginez que vous \^etes un \^etre \`a deux
dimensions, et que vous vivez dans une surface,
\emph{sans conscience du monde en trois dimensions dans lequel est
  plong\'e la surface}. Dans
quelle mesure pouvez-vous dire quelle est la forme de cette surface~?
\footnote{Si vous n'aimez pas l'id\'ee de vivre en deux dimensions,
 voici une autre mani\`ere de pr\'esenter la question. Vous habitez sur une
 plan\`ete, et vous voulez en conna\^{\i}tre la forme (est-ce une sph\`ere, un
 disque, un tore, l'une des quatre surfaces de la
 question~\ref{par:surfaces}.\ref{qst:surfaces}.\ref{sq:ciseaux},
 \textit{etc.}~?)~; mais vous
 ne pouvez pas d\'ecoller de la plan\`ete, et vous ne voyez rien de l'espace
 autour (il y a des nuages partout). Comment faire~?}


%******************************************************
\qst{Conclusion}
%distribuer plus tard %?
On peut \'enoncer le th\'eor\`eme suivant (que l'on admettra)~:
\begin{enonce1*}{Th\'eor\`eme}{}
Soit $S$ une surface, et $T$ une triangulation de $S$. Alors le nombre
(S-A+F) ne d\'epend pas de la triangulation $T$,
il ne d\'epend que du type topologique de la surface $S$.
\end{enonce1*}
Ce nombre est donc un \emph{invariant topologique} associ\'e \`a la surface
$S$~; on l'appelle \emph{caract\'eristique d'Euler-Poincar\'e} de la
surface.

Donner la caract\'eristique d'Euler-Poincar\'e des surfaces que vous avez
\'etudi\'ees.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie{Un lien avec le point de vue du cours : comment d\'efinir
formellement l'\'equivalence topologique ?}
%? a ecrire
Reprenons le dessin d'un  carr\'e dans le plan  qui se d\'eforme en cercle
(figure~\ref{fig:topologie2}).
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{topologie2.eps}
\caption{\label{fig:topologie2}
Construction de l'application $h$.}
\end{center}
\end{figure}
 \'Etant donn\'e un point $x$ du carr\'e, on peut
suivre son d\'eplacement durant la d\'eformation~; quand la d\'eformation est
finie, on obtient ainsi un point $h(x)$ dans le cercle final. En faisant
ceci pour chaque point $x$ du carr\'e, on obtient une application $h$ du
carr\'e dans le cercle. 
\qst{}
Essayez de traduire formellement, \emph{sur l'application $h$},
 les id\'ees intuitives de la d\'efinition
d'\'equivalence topologique donn\'ee plus haut~:
\begin{itemize}
\item comment rendre compte de l'id\'ee qu'il n'y a pas de d\'echirure~?
\item comment rendre compte de l'id\'ee qu'il n'y a pas d'\'ecrasement~?
\item coment  rendre compte de l'id\'ee qu'il n'y a pas de recollement~?
\end{itemize}

Sur le plan formel, l'id\'ee de d\'eformation continue est assez lourde \`a
d\'efinir~; en r\'ealit\'e, on d\'efinit l'\'equivalence topologique en conservant
uniquement les propri\'et\'es de la fonction finale $h$~: si $E$ et
$F$ sont deux parties du plan (comme le carr\'e et le cercle), elles sont
dites topologiquement \'equivalentes (ou \emph{hom\'eomorphes}) s'il existe une
application $h$ de $E$ dans $F$ qui est une bijection, continue, dont la
r\'eciproque est continue. Une telle application s'appelle un \emph{hom\'eomorphisme}.

Formellement, la topologie est donc l'\'etude de toutes les propri\'et\'es qui
sont conserv\'ees par les hom\'eomorphismes. Par exemple, les notions de
ferm\'es, d'ouverts, la compacit\'e, la connexit\'e par arcs,
sont des notions topologiques (pourquoi ?...).

La topologie ne concerne pas uniquement les parties de $\bbR^n$~: il existe
beaucoup d'ensembles sur lesquels on peut
mettre des structures topologiques, c'est-\`a-dire d\'efinir des notions
d'ouverts et de ferm\'es, et donc de continuit\'e. C'est le cas par exemple
des espaces vectoriels de fonctions, ou encore de l'ensemble des courbes
du plan~; ceci permet de donner un sens \`a l'id\'ee de deux  fonctions (ou
de deux courbes)
``proches'' l'une de l'autre.
 Ces diff\'erentes structures topologiques
jouent un r\^ole tr\`es important en Analyse, par exemple dans la
transformation de Fourier, ou dans la th\'eorie des
distributions. Explications dans un cours de Licence...
\end{exo}
