\Annee{2002}
\titrebookmark{M\'ethode de Newton}
\Titre{Comment calculer $\sqrt{2}$ quand on a oubli\'e sa calculatrice~?
(introduction \`a la m\'ethode de Newton)}
\Date{2002/07/26}
\Niveau{\DEUGi} % Deug deuxieme annee
\AnglePedagogique{\Decouverte}
\AnglesSecondaires{\AQuoiCaSert}
\Theme{\Suites}
\ThemesSecondaires{\Fonctions}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}

\Objectif{La m\'ethode de Newton est un sujet tr\`es riche pour le DEUG~:
on peut exp\'erimenter graphiquement, num\'eriquement, travailler sur la
formule, essayer de prouver la convergence, \'etudier la rapidit\'e de la
convergence (th\'eoriquement ou exp\'erimentalement), g\'en\'eraliser en
dimension sup\'erieure, voir ce qui se passe quand
ça ne converge pas (et entrevoir la recherche en dynamique complexe)...
 C'est aussi une m\'ethode d'une grande importance
pratique, puisque c'est sans doute, gr\^ace \`a sa vitesse de
convergence, la plus utilis\'ee pour approcher un
z\'ero de fonction.

Dans cet exercice, on demande aux \'etudiants de trouver la formule \`a
partir d'une description graphique (surtout ne pas leur donner la
formule alors qu'ils sont tout \`a fait capables de la trouver~!)~; puis
on l'utilise pour un calcul de $\sqrt{2}$~; enfin, on compare la
rapidit\'e de convergence avec la m\'ethode par dichotomie (en gros, dans
la m\'ethode de Newton, le nombre de d\'ecimales justes double \`a chaque
\'etape, alors qu'il augmente lin\'eairement pour la dichotomie, et qu'il
faut plus de trois coups pour chaque d\'ecimale suppl\'ementaire).


Tous les calculs demand\'es sont faisables \`a la main (division \`a trois
ou quatre chiffres), et on constate qu'on peut avoir une tr\`es bonne
approximation d'une racine carr\'ee, sans calculatrice, en peu de temps.

La premi\`ere partie a \'et\'e test\'ee \`a un examen o\`u les \'etudiants
travaillaient en groupes de quatre, et a \'et\'e globalement r\'eussie.
} 


\begin{exo}
La m\'ethode de Newton (ou m\'ethode des tangentes) est une mani\`ere
d'obtenir des approximations num\'eriques d'un ``z\'ero'' d'une fonction
(c'est-\`a-dire d'un nombre o\`u la fonction s'annule). 
Dans cet exercice, on d\'ecrit cette m\'ethode, puis on l'applique 
au calcul des premi\`eres d\'ecimales de $\sqrt{2}$.
La deuxi\`eme partie de l'exercice propose de comparer cette m\'ethode 
avec la m\'ethode par dichotomie.
\footnote{\'Etant donn\'e le titre de l'exercice, les calculs
seront faits sans utiliser de calculatrice...}

\partie{La m\'ethode de Newton}
\qst{Formule}
\`A partir de l'encadr\'e d\'ecrivant graphiquement la m\'ethode de
Newton, trouver la formule donnant $x_1$ en fonction de $x_0$.

Quelles hypoth\`eses doit-on faire sur $f$ et $x_0$ pour que la
formule ait un sens~?

\begin{figure}[hp]
\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.9\textwidth}{
\centerline{\bf La m\'ethode de Newton}
\small
 Toutes les m\'ethodes de recherche num\'erique de z\'ero de fonctions
 suivent le m\^eme  principe g\'en\'eral~: \`a partir d'une ``premi\`ere
 bonne approximation'' du z\'ero recherch\'e, trouver une 
approximation qui soit encore meilleure, puis recommencer...

Voici comment proc\`ede la m\'ethode de Newton.
Soit $f$ une fonction de $\bbR$ dans $\bbR$.
\begin{enumerate}
\item On part d'un nombre ``quelconque'' $x_0$~;
 \item \`a partir de $x_0$, on calcule un nouveau nombre $x_1$ de la
mani\`ere suivante (voir figure )~: on trace la tangente au graphe de $f$ au point
d'abscisse $x_0$, et on d\'etermine le point d'intersection de cette
tangente avec l'axe des abscisses. On appelle $x_1$ l'abscisse de ce
point d'intersection~;
\item et on recommence~: on calcule un nouveau
nombre $x_2$ en appliquant le proc\'ed\'e d\'ecrit au point 2 o\`u l'on
remplace $x_0$ par $x_1$~;
\item \emph{et caetera...}
\end{enumerate}

\begin{center}
\input{newton.pstex_t}
\normalsize
\end{center}
}}
\end{center}
\end{figure}

%\partie{M\'ethode de Newton}

\qst{Calcul explicite}
On veut utiliser la m\'ethode de Newton pour calculer, \`a la main, une
approximation d\'ecimale du nombre $\sqrt{2}$. Pour ça, on prend la
fonction $f(x)=x^2-2$ (remarquez que $\sqrt{2}$ est bien un z\'ero de
$f$~!), et on part de $x_0=1$.


\sq{} Tracer la fonction $f$, repr\'esenter graphiquement les nombres $x_0$,
$x_1$, $x_2$ et $x_3$. Calculer, \`a la main, les nombres $x_1$, $x_2$ et
$x_3$ sous forme de fraction. 

\sq{} Sachant que le d\'ebut du d\'eveloppement d\'ecimal de $\sqrt{2}$ est~:
$$
1.414213562
$$
dire, pour $x_3$, combien on a
trouv\'e de ``bonnes'' d\'ecimales.

\sq[Autres choix d'approximation initiale]
On consid\`ere toujours la fonction  $f(x)=x^2-2$.
 Que se passe-t-il si on part d'une autre valeur que $1$ pour $x_0$~?
D\'ecrire, en fonction du choix de $x_0$ dans $\bbR$, le comportement de
 la m\'ethode de Newton (ne pas oublier les  cas particuliers !).
Pour le z\'ero $\sqrt{2}$ de cette fonction $f$, comment pr\'eciserait-on
la notion de ``premi\`ere bonne approximation'' dont parle l'encadr\'e~?


\qst{Preuve}
  Dans le cas  pr\'ec\'edent ($f=x^2-2$ et $x_0=1$), prouver que
la suite $(x_n)$ d\'efinie par la m\'ethode de Newton converge vers $\sqrt{2}$.



\partie{Partie optionnelle : comparaison avec la dichotomie}

\begin{figure}[hp]
\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.9\textwidth}{
\centerline{\bf La m\'ethode par dichotomie}
\small
Voici une description de la m\'ethode par dichotomie.

Soit $f$ une fonction de $\bbR$ dans $\bbR$, dont on connait le sens
de variation autour de $\alpha$~: par exemple, $f$ est n\'egative avant
$\alpha$ et positive apr\`es.
\begin{enumerate}
\item On commence par choisir un nombre
$x_0$ que l'on sait \^etre plus petit que le z\'ero $\alpha$ recherch\'e~;
\item  on choisit aussi un nombre $x_1$ plus grand que $\alpha$~;
\item on prend pour $x_2$ le milieu de l'intervalle $[x_0,x_1$]~:
$x_2$ d\'ecoupe cet intervalle en deux intervalles deux fois plus
petits, l'intervalle de gauche $[x_0x_2]$ et l'intervalle de droite
$[x_2x_1]$~;

\item le nombre $x_3$ est alors d\'etermin\'e de la mani\`ere suivante~:
 si
$\alpha$ est dans l'intervalle de gauche (autrement dit si
$f(x_2)>0)$,  alors on choisit pour 
$x_3$  le milieu de
cet intervalle~; sinon, on choisit le milieu de l'intervalle de droite.

\item et on recommence~: le nombre $x_3$ d\'ecoupe le nouvel intervalle
 en deux intervalles deux fois plus petits, et on choisit pour $x_4$
le milieu d'un de ces deux intervalles, selon la position de $\alpha$.

\item  \emph{et caetera...}

\end{enumerate}
}}
\normalsize
\end{center}
\end{figure}


\qst{Nouveau calcul explicite}
On cherche \`a nouveau une approximation de $\sqrt{2}$. Pour ça, on
va appliquer la m\'ethode par dichotomie (voir encadr\'e) avec $x_0=1$ et $x_1=2$.

\sq{} Montrer rapidement (mais rigoureusement) que $\sqrt{2} \in [x_0,x_1]$.

\sq{} Calculer les nombres $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$ sous forme de
fraction. Repr\'esenter-les sur un dessin.

\sq{} Dire, pour $x_5$, combien on a
trouv\'e de ``bonnes'' d\'ecimales.

\qst{Preuve}
 Dans le cas particulier pr\'ec\'edent ($f=x^2-2$ et $x_0=1$), prouver que
la suite $(x_n)$ d\'efinie par la m\'ethode de dichotomie converge vers $\sqrt{2}$.

\qst{Bilan}
Comparer les deux m\'ethodes sur cet exemple.





\end{exo}
