\Annee{2002}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Titre{Rotations du plan~: g\'eom\'etrie et alg\`ebre lin\'eaire.}
\Date{2002/07/22}
\Niveau{\DEUGi} 
\AnglePedagogique{\Visualisation}
\Theme{\AlgLin} 
\ThemesSecondaires{}

\Objectif{L'objectif principal est de donner un peu de sens g\'eom\'etrique \`a
quelques notions d'alg\`ebre lin\'eaire (matrice d'une application,
inverse, changement de bases, vecteur propre, racine carr\'e). D'autre
part, il est indispensable que les \'etudiants aient des exemples
d'applications lin\'eaires pr\'esent \`a l'esprit pour tester et visualiser
 les notions abstraites introduites dans le cours. 
Il serait dommage de ne pas utiliser les rotations, que les \'etudiants
ont d\'ej\`a rencontr\'ees (il serait dommage aussi de se limiter \`a ces
exemples, qui peuvent \^etre trompeurs, puisque les rotations ont des
propri\'et\'es bien plus fortes que la simple lin\'earit\'e).

Dans la question~\ref{qst.linearite}.\ref{sq.non-centree},
 les \'etudiants ont tendance \`a dessiner leurs
vecteurs issus du centre de la rotation~; autrement dit, ils testent
la lin\'earit\'e de l'application tangente et non pas de la rotation
elle-m\^eme ! Et au fond, ils ont raison, il est tr\`es bizarre de
vouloir faire agir une rotation non centr\'ee en $0$ sur des vecteurs
``issus de $0$''. Il faut probablement r\'e-\'ecrire cette question en
\'evoquant la double vie des \'el\'ements de $\bbR^2$, vecteurs et points...


L'exercice complet est long (plusieurs heures), mais d\'ecoup\'es en
modules assez ind\'ependants.}

\begin{exo}
\emph{Le but de cet exercice est d'\'etudier les rotations du 
plan, en confrontant le point de vue g\'eom\'etrique au point de vue
matriciel.}


Pour tout $\theta$ r\'eel, on note $R_\theta$ la rotation du plan $\bbR^2$
de centre $O=(0,0)$ et d'angle $\theta$. 

\vspace{0.5cm}

\qst{Lin\'earit\'e}\label{qst.linearite}
\sq On prend la rotation d'angle $\theta=\pi/4$. Faites un dessin pour
tester, sur 
quelques vecteurs, la lin\'earit\'e de cette application.

\sq \label{sq.non-centree} 
Testez la lin\'earit\'e de la rotation de m\^eme angle, et de centre $(1,0)$.
Conclusion~?

\emph{On admet (provisoirement) que les rotations de centre $O$ sont
lin\'eaires}.

\qst{Matrices et g\'eom\'etrie}
\sq D\'eterminer (g\'eom\'etriquement) la matrice $M_\theta$ 
de $R_\theta$ dans la base canonique.
 Pour $\theta=\pi/4$, d\'eterminer g\'eom\'etriquement l'image du
vecteur $(1,1)$~; puis retrouvez le r\'esultat matriciellement.


\sq On raisonne g\'eom\'etriquement~: d\'ecrire l'application
compos\'ee  $R_\theta \circ R_{\theta'}$. En d\'eduire, sans calcul, la
matrice de cette application.

\sq On raisonne matriciellement~: retrouvez par le calcul la matrice
pr\'ec\'edente. 

\sq \`A partir de ce qui pr\'ec\`ede, expliquer une fa\c{c}on
 simple de retrouver certaines 
formules trigonom\'etriques, si on les a oubli\'ees.

\qst{(optionnelle) Rotations r\'eciproques}
Quelle est l'application r\'eciproque de la rotation $R_\theta$, et que
vaut sa matrice~? comme \`a la question pr\'ec\'edente, donner un argument
g\'eom\'etrique, puis un argument matriciel.

\qst{Changement de bases}
\sq On prend $\theta=\pi/2$. Donner la matrice  de $R_\frac{\pi}{2}$
dans la base canonique, puis dans la base  $((1,0),(1,1))$. Ici
encore, on pourra raisonner g\'eom\'etriquement, puis matriciellement.

\sq[(Question plus difficile)] Existe-t-il une base dans laquelle $R_\frac{\pi}{2}$ a une
matrice diagonale ?  [\textit{ Id\'ee : raisonnez par l'absurde~;
comment interpr\'eter g\'eom\'etriquement le fait d'avoir une matrice
diagonale dans une certaine base ?...}]

\qst{Racines carr\'ees}
On voudrait savoir combien il y a de \emph{racines carr\'ees} de la
matrice Identit\'e, c'est-\`a-dire de matrices $M$, de taille $2 \times
2$, telles que $M \times M=Id$.

\sq On propose d'abord d'envisager la question d'un point de vue
purement matriciel.
Donnez-vous 5 minutes, et cherchez le plus possible de telles matrices.

\sq Donnez la traduction g\'eom\'etrique du probl\`eme (\emph{i.e.} donnez un
probl\`eme logiquement \'equivalent mais concernant les applications
lin\'eaires). Trouvez maintenant d'autres racines carr\'ees de
l'identit\'e~!
[Indication~: quelles applications lin\'eaires du plan connaissez-vous
en plus des rotations ?...] Rappelez-vous que la question de d\'epart
\'etait matricielle, on souhaite donc obtenir une r\'eponse en terme de
matrices (m\^eme si la m\'ethode utilis\'ee est g\'eom\'etrique).

\sq Trouvez, de la m\^eme mani\`ere, des racines carr\'ees de la matrice
$-Id=\Mx{-1&0\\0&-1}$. 


\qst{Retour sur la lin\'earit\'e}
  Montrer
 que les rotations $R_\theta$ sont lin\'eaires.
[\textit{Id\'ee : il suffit d'\'ecrire la formule donnant les coordonn\'ees de 
 $R_\theta(x,y)$, o\`u $(x,y)$
est un point quelconque du plan. C'est plus facile avec 
les nombres complexes...}]
\end{exo}