\Annee{2002}
\Titre{Saute-mouton}
\Auteur{Thierry \textsc{Barbot}}
\AutresAuteurs{}


\Date{2002/07/22} 
\Niveau{\DEUGii}

\NiveauxSecondaires{}
\AnglePedagogique{\Ludique} 

\AnglesSecondaires{}
\Theme{\AlgLin}

\ThemesSecondaires{\Suites}
\Objectif{
%Cet exercice a été inventé par Thierry Barbot.

Cet exercice conduit à des suites récurrentes
linéaires en dimension $3$. Sous cette forme, il demande de
l'autonomie (mettre en forme, résoudre, interpréter la réponse).
La réponse est amusante.
\footnote{La matrice correspondante a trois valeurs propres réelles,
dont une seule est de valeur absolue strictement plus grande que
$1$. Le sous-espace de dimension (complexe) 2 solution du problème correspond aux
configurations où les trois points sont alignés, avec un rapport de
distance égale au nombre d'or...}
}

\begin{exo}
Trois moutons sont dans un pré, et bien évidemment, ils jouent
à saute-mouton. Le premier mouton saute par dessus le deuxième, et se
retrouve donc dans la position symétrique de la position qu'il
occupait par rapport au deuxième mouton. Puis le deuxième mouton saute
au-dessus du troisième. Enfin, le troisième saute au-dessus du
premier (qui, rappelons-le, a déjà bougé). Et le jeu recommence
indéfiniment...

En assimilant le pré à un plan et les moutons à des points du plan,
trouver les configurations de départ qui entra\^ine une partie de
saute-mouton pouvant se dérouler entièrement dans un champ,
c'est-à-dire tel que la suite des positions successives des trois
moutons reste bornée dans le plan.
\end{exo}
