\Annee{2002}
\Titre{Le tapis de Sierpinski}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{}


\Date{2002/07/22} 
\Niveau{\DEUGi}

\NiveauxSecondaires{}
\AnglePedagogique{\Ludique}
\AnglesSecondaires{\Decouverte}
\Theme{\Series}
\ThemesSecondaires{}
\Objectif{Cet exercice peut sembler tr\`es facile~; n\'eanmoins, on
remarque que peu d'\'etudiants ma\^{\i}trisent suffisamment les suites
g\'eom\'etriques pour penser \`a utiliser la formule de somme \emph{sans
qu'on le leur sugg\`ere} (la connaissance est g\'en\'eralement mobilisable
mais pas disponible...). Du coup, le comportement de la suite $(S_n)$ est
rarement justifi\'e (m\^eme s'il leur semble ``\'evident''
qu'elle doit tendre vers $0$).

D'autre part, \`a la deuxi\`eme question, la r\'eponse unanime est que la
dur\'ee est n\'ecessairement infinie, puisqu'il y a une infinit\'e
d'\'etapes~: on retrouve une version du paradoxe de Z\'enon.

Ceci donne une illustration des deux principaux obstacles \`a la
compr\'ehension des s\'eries~: l'intuition sugg\`ere parfois qu'une s\'erie
converge forc\'ement puisqu'on ajoute des termes de plus en plus petits
 (la convergence est ``\'evidente'' dans la premi\`ere
question, ce qu'on retrouve souvent dans les exercices techniques dans
la formule ``le terme g\'en\'eral tend vers $0$, donc la s\'erie
converge''), ou bien au contraire, une s\'erie diverge forc\'ement
puisqu'on ajoute une infinit\'e de termes (la variante la plus utilis\'ee
dans les exercice est sans doute ``la fonction tend vers $+\infty$ en
$0$ donc l'int\'egrale diverge'').

Ainsi, cet exercice peut servir d'introduction aux séries, en invitant
les étudiants à réfléchir, après coup, à ces deux obstacles. 
}




\begin{exo}
Monsieur Sierpinski  avait ramen\'e
d'un voyage en Orient un tapis carr\'e de $1$ m\`etre de c\^ot\'e dont il
\'etait tr\`es content. Jusqu'au jour o\`u les mites s'introduisirent chez
lui.

En 24 heures, elles d\'evor\`erent dans le tapis un carr\'e de c\^ot\'e trois fois plus
petit, situ\'e exactement au centre du tapis. En constatant les d\'egats,
Monsieur Sierpinski entra dans une col\`ere noire~! Puis il se consola
en se disant qu'il lui restait huit petits carr\'es de tapis, chacun de
la taille du carr\'e disparu.
Malheureusement, dans les 12 heures qui suivirent, les mites avaient attaqu\'e 
les huit petits carr\'es restants~: dans chacun, elles avaient
mang\'e un carr\'e central encore trois fois plus petit. Et dans les 6
heures suivantes elles grignot\`erent encore le carr\'e central de chacun
des tout petits carr\'es restants. 
Et l'histoire se r\'ep\'eta,
encore et encore~; \`a chaque \'etape, qui se d\'eroulait dans un intervalle de
temps deux fois plus petit que l'\'etape pr\'ec\'edente, les mites faisaient
des trous de taille trois fois plus petite...


\qst{}
Faire des dessins pour bien comprendre la g\'eom\'etrie du tapis trou\'e.
 Calculer le nombre total de trous dans le tapis de Monsieur Sierpinski
apr\`es $n$ \'etapes. Calculer la surface $S_n$ de tapis qui n'a pas encore \'et\'e
mang\'ee apr\`es $n$ \'etapes. Trouver la limite de la suite $(S_n)_{n \geq
0}$. Que reste-t-il du tapis \`a la fin de l'histoire~?

\qst{}
Calculer la dur\'ee totale du festin ``mitique''...
\end{exo}
