\Annee{2002}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Titre{Une fonction continue mais d\'erivable nulle part}
\Date{2002/01/15}
\Niveau{\DEUGii}
\NiveauxSecondaires{}
\AnglePedagogique{\Decouverte} 
\Theme{\Series} 
\ThemesSecondaires{\Fonctions,Convergence uniforme,S\'eries de fonctions}

\Objectif{R\'efl\'echir sur les notions de continuit\'e et de
  d\'erivabilit\'e, et sur leur interpr\'etation g\'eom\'etrique~;
  construire une nouvelle fonction \`a l'aide d'une s\'erie de
  fonctions, visualiser cette s\'erie, \'etudier ses propri\'et\'es.

L'exercice est long, mais on peut n'en faire que la
partie~\ref{par:weierstrass}
(construction de la fonction de Weierstrass et preuve de la
continuit\'e, sans preuve de la non-d\'erivabilit\'e). Par contre, il me
semble que pour faire la partie~\ref{par:weierstrass-geometrique}, il
vaut mieux avoir fait les rappels de d\'erivabilit\'e de la
partie~\ref{par:pentes}.

Montrer que la fonction de Weierstrass n'est pas d\'erivable est assez
difficile, et n\'ecessite des estim\'ees pr\'ecises. Apr\`es avoir pr\'esent\'e
cette fonction, on en donne ici une variante, en rempla�ant
le sinus par une fonction affine par morceaux. La preuve de la
non-d\'erivabilit\'e de cette nouvelle fonction repose alors sur des
consid\'erations plus g\'eom\'etriques~: la remarque cl\'e est
qu'on a choisi la s\'erie pour que les pentes de la somme partielle
$S_n$  (qui est affine par morceaux) sont minor\'ees, en valeurs
absolues, par un nombre $C_n$ qui tend vers l'infini (propri\'et\'e P1
ci-dessous). D'autre part, la
fonction limite $F$ co\"{\i}ncide avec $S_n$ sur tous les multiples de
$1/n$. Ceci permet d'encadrer tout nombre $x$ par deux nombres
$y_n$ et $y'_n$ en lesquels $F$ et $S_n$ co\"{\i}ncident, de mani\`ere \`a
ce que quand $n$ tend vers $+\infty$, ces points tendent vers
$x$. D'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede, la pente entre $y_n$ et $y'_n$ doit
tendre vers $+\infty$, ce qui permet de conclure avec un petit
argument sur les pentes des droites
(voir~\ref{par:pentes}.\ref{qst:pentes}.\ref{sq:trois-pentes}).

La figure~\ref{fig:weiegeo2}\footnote{\`A ne montrer aux \'etudiants
 qu'apr\`es la question~\ref{qst:dessin}.} montre
 l'allure de quelques sommes partielles de la fonction $F$
 (partie~\ref{par:weierstrass-geometrique}). 
\begin{figure}[h!t!]
\begin{center}
\includegraphics[height=6cm,angle=-90]{figures-weierstrass11.eps}
\caption{\label{fig:weiegeo2}
La fonction $F$.}
\end{center}
\end{figure}
} 

\begin{exo}
Le but de cet exercice est de construire une fonction  d\'efinie
sur l'intervalle $[0,1]$, \`a valeur dans $\bbR$, qui est continue, mais
qui n'est d\'erivable en
aucun point de l'intervalle.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie{Rappels pr\'eliminaires}\label{par:pentes}
\qst{Pentes des droites} \label{qst:pentes}
\sq Sur la route, avant une pente importante, on trouve un panneau indiquant
la valeur de la pente (par exemple~:$10\%$). Que signifie ce nombre~?
\sq \label{sq:pentes} Soit $f : x \mapsto ax+b$ une fonction dont le graphe est une droite
du plan $\bbR^2$~; le nombre $a$ s'appelle le \emph{coefficient
  directeur} (ou pente) de la droite. Soient $x_1$ et $x_2$ deux r\'eels,
et $M_1$ et $M_2$ les deux points du graphe correspondant.
Le \emph{taux d'accroissement} entre $x_1$ et $x_2$ est le rapport entre
la distance verticale et la distance horizontale de $M_1$ \`a
$M_2$. Donner la formule du taux d'accroissement. Quel est le lien avec
la pente de la droite~? Quel est le lien avec l'angle entre la droite et
la direction horizontale~?
\sq Estimer graphiquement les pentes des droites de la
figure~\ref{fig:droites}. Que se passe-t-il quand on fait varier la
pente entre $-\infty$ et $+\infty$~?
\begin{figure}[h!t!]
\begin{center}
\includegraphics[height=5cm,angle=-90]{figures-weierstrass01.eps}
\caption{\label{fig:droites}
Pentes des droites}
\end{center}
\end{figure}

\sq[Une propri\'et\'e des pentes des droites]\label{sq:trois-pentes}
Soient $M_1$, $M_2$, $M_3$ trois points du plan d'abscisses respectives
$x_1<x_2<x_3$. Soient $\Delta_1$, $\Delta_2$, $\Delta_3$ les droites
passant respectivement par les points $M_2$ et $M_3$, $M_1$ et $M_2$, et
$M_1$ et $M_2$. Expliquer par un dessin (ou deux !) pourquoi \emph{la pente de
  $\Delta_2$ est toujours plus petite que l'une des deux autres pentes
  (en valeurs absolues)}.

%%%%%%%
\qst{D\'eriv\'ee d'une fonction}
\sq Estimer graphiquement  la d\'eriv\'ee de la fonction de la figure~\ref{fig:fonction}
en quelques points. Dessiner l'allure de la fonction d\'eriv\'ee.
\begin{figure}[h!t!]
\begin{center}
\includegraphics[height=6cm,angle=-90]{figures-weierstrass02.eps}
\caption{\label{fig:fonction} Estimation graphique de la d\'eriv\'ee}
\end{center}
\end{figure}

\sq Donner la d\'efinition g\'eom\'etrique (intuitive) de la continuit\'e, puis
celle de la d\'erivabilit\'e.
\sq Donner les d\'efinitions formelles.
\sq Dessiner l'allure du graphe d'une fonction non continue en $0$~;
d'une fonction continue non d\'erivable en $0$.
\sq La fonction de la figure~\ref{fig:fonction} est-elle d\'erivable en $0$~?

On utilisera par la suite le lemme suivant (qui est une cons\'equence
imm\'ediate de la d\'efinition de la d\'erivabilit\'e)~:
\begin{enonce1}{Lemme}{}\label{lem:derivabilite}
Si une fonction $f$ est d\'erivable en un point $x_0$, et si $(y_n)_{n
\geq 0}$ est une suite tendant vers $x_0$, alors la suite des taux
d'accroissements
$$
\frac{f(y_n)-f(x_0)}{y_n-x_0}
$$
tend vers le nombre r\'eel $f'(x_0)$.
\end{enonce1}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie{La fonction de Weierstrass}\label{par:weierstrass}
La premi\`ere fonction continue partout mais d\'erivable nulle part a \'et\'e
construite par Weierstrass (math\'ematicien allemand, 1815-1897). Cette
fonction a aid\'e \`a clarifier les notions de continuit\'e et de
d\'erivabilit\'e, et a oblig\'e les math\'ematiciens a en donner des d\'efinitions
pr\'ecises~: auparavant, ceux-ci se contentaient des ``d\'efinitions''
intuitives, et pensaient qu'une fonction continue \'etait
toujours d\'erivable sauf \'eventuellement en quelques points~: la
construction de Weierstrass est venue contredire cette id\'ee intuitive.

\subsubsection*{Id\'ee de la construction}
L'id\'ee de Weierstrass est de partir d'une fonction $f_0$ qui est parfaitement
d\'erivable, puisqu'il s'agit de la fonction $\mathrm{sinus}$
(figure~\ref{fig:weie}). Puis on perturbe cette premi\`ere fonction en lui
ajoutant une autre sinuso\"{\i}de, de p\'eriode $5$ fois plus petite, et
d'amplitude $2$ fois moins grande~; cette deuxi\`eme fonction, not\'ee
$f_1$, est repr\'esent\'ee sur la figure~\ref{fig:weie2}, \`a gauche.
 Quand on ajoute $f_1$ \`a
$f_0$, on obtient une courbe qui zig-zague autour du graphe de $f_0$
(voir le  dessin de droite~; en
effet, $f_1$ est alternativement positive et n\'egative~; quand $f_1$ est
positive, le graphe de $f_0+f_1$ est situ\'e au-dessus de celui de $f_0$,
et il est situ\'e au-dessous lorsque $f_1$ est n\'egative~; quand $f_1$
s'annule, les deux graphes se rencontrent).
\begin{figure}[h!t!]
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm,angle=-90]{figures-weierstrass03.eps}
\caption{\label{fig:weie}
Id\'ee de la construction de la fonction de Weierstrass (1)}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[h!t!]
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm,angle=-90]{figures-weierstrass04.eps}
\hspace{3cm}
\includegraphics[width=7cm,angle=-90]{figures-weierstrass05.eps}
\caption{\label{fig:weie2}
Id\'ee de la construction de la fonction de Weierstrass (2)}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[h!t!]
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm,angle=-90]{figures-weierstrass06.eps}
\hspace{3cm}
\includegraphics[width=7cm,angle=-90]{figures-weierstrass07.eps}
\caption{\label{fig:weie3}
Id\'ee de la construction de la fonction de Weierstrass (3)}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[h!t!]
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm,angle=-90]{figures-weierstrass08.eps}
\caption{\label{fig:weie4}
Id\'ee de la construction de la fonction de Weierstrass ($\infty$)}
\end{center}
\end{figure}


Et on recommence~: on prend la fonction $f_2$ qui est une sinuso\"{\i}de
de p\'eriode $5$ fois plus petite et
d'amplitude $2$ fois moins grande que $f_1$, et on l'ajoute encore \`a la
fonction $f_0+f_1$ (voir la figure~\ref{fig:weie3}).
 On recommence le processus \`a l'infini (figure~\ref{fig:weie4}).

\qst{D\'efinition formelle}
D\'efinir pr\'ecis\'ement $f_0$, $f_1$, $f_2$, $\dots$, et $F$, la fonction limite.

\qst{Continuit\'e}
Montrer que $F$ est continue.


\qst{D\'erivabilit\'e}
Quelle serait la proc\'edure standard pour montrer que $F$ est d\'erivable
? Essayez ! Qu'est-ce qui ne marche pas ? Pourquoi ne peut-on pas en conclure que
$F$ n'est pas d\'erivable ?


\emph{En fait, la fonction $F$ n'est pas d\'erivable, mais c'est assez difficile
\`a montrer\footnote{L'id\'ee est que les graphes des fonctions successives
  $f_0$, $f_0+f_1$, $f_0+f_1+f_2$, \textit{etc.}, pr\'esentent de plus en
  plus d'oscillations~: quand on prom\`ene une tangente le long du graphe
  de $f_0+f_1+f_2$, par exemple, la pente oscille \'enorm\'ement. \`A la
  limite, il n'y a plus de tangentes au graphes. Pour transformer cette
  id\'ee en une preuve rigoureuse, il faut faire des estimations pr\'ecises
  des pentes des fonctions successives. Notamment, le nombre ``$5$''qui
  apparait dans la construction n'est pas choisi au hasard, un nombre
  plus petit peut produire une fonction parfaitement d\'erivable...
 }.
 On va plut\^ot examiner une variante de cette premi\`ere
construction, pour laquelle la preuve sera plus facile.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie{Une version g\'eom\'etrique de la fonction de Weierstrass}\label{par:weierstrass-geometrique}
\subsubsection*{Id\'ee de la construction}
Cette fois-ci, on part de la fonction $f_0$ repr\'esent\'ee \`a la
figure~\ref{fig:weiegeo}, dont le graphe a la forme d'une dent de
hauteur $1/2$ et qui est p\'eriodique de p\'eriode~$1$. 
La fonction $f_1$ est alors similaire \`a $f_0$,
avec huit fois plus de ``dents'', chaque dent \'etant deux fois moins
\'elev\'ee que la dent de $f_0$. Et on recommence~: la fonction $f_2$ a huit
fois plus de dents que $f_1$, de hauteur encore deux fois moins grande~;
\textit{etc.}.
\begin{figure}[h!t!]
\begin{center}
\includegraphics[height=6cm,angle=-90]{figures-weierstrass10.eps}
\caption{\label{fig:weiegeo}
Les nouvelles fonctions $f_0$, $f_1$ et $f_2$.}
\end{center}
\end{figure}


\qst{Dessin et d\'efinition formelle}\label{qst:dessin}
Dessiner (le plus pr\'ecis\'ement possible) $f_0+f_1$, et (vaguement) $f_0+f_1+f_2$.
D\'efinir pr\'ecis\'ement $f_1$, $f_2$, $\dots$, et $F$, la fonction limite,
\textbf{en fonction de $f_0$}.

\qst{Continuit\'e}
Montrer que $F$ est continue.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\qst{D\'erivabilit\'e}
\emph{On veut montrer que $F$ n'est d\'erivable en aucun point de $\bbR$.}

Soient $S_0=f_0$, $S_1=f_0+f_1$, $S_2=f_0+f_1+f_2$, $\dots$ les sommes partielles
de la fonction $F$.
\emph{L'id\'ee de la preuve est d'\'etudier les pentes des fonctions
$S_n$, et leur lien avec les taux d'accroissements de
la fonction limite $F$.}

%%%%%%%
\sq[Pentes de $S_n$]~

\begin{enonce2*}{D\'efinition}{}
On dit qu'une fonction est \emph{affine par morceaux} sur
l'intervalle $[0,1]$ si cet intervalle est d\'ecoup\'e en sous-intervalles,
sur chacun desquels la fonction est affine (c'est-\`a-dire que son
graphe est un segment).
\end{enonce2*}
 Dans ce cas, la d\'eriv\'ee est bien s\^ur constante sur
chaque morceau, et est \'egale \`a la pente du segment (voir la
section~\ref{par:pentes}.\ref{qst:pentes}.\ref{sq:pentes}).

Soit $n>0$. La fonction $S_n$ est affine par morceaux. Donner les valeurs de la plus
grande pente et de la plus petite pente (en valeur absolue).
Montrer la propri\'et\'e \textbf{P1} (voir aussi l'aide ci-dessous)~:

\begin{enonce1*}{Propri\'et\'e P1}{}
Il existe une suite $(C_n)_{n>0}$, tendant vers $+\infty$,  telle que
(pour tout $n>0$), les valeurs absolues des pentes de tous les morceaux de la fonction
$S_n$ sont sup\'erieures ou \'egales \`a $C_n$.
\footnote{C'est pour obtenir cette propri\'et\'e qu'on a choisit ``huit
fois plus de pics'' quand on passe de $f_n$ \`a $f_{n+1}$.}
\end{enonce1*}


\paragraph{$\bullet$ Aides pour la preuve de P1}
\begin{itemize}
\item Soit $f$ une fonction, et $g$ la fonction d\'efinie par
  $g(x)=f(8x)/2$. Quel lien y a-t-il entre la d\'eriv\'ee de $g$ et celle de
  $f$~?
\item D\'eterminer les pentes des fonctions $f_0$, $f_1$, $f_2$,
  \textit{etc.}.
\item  Donner la valeur de la pente sur chacun des morceaux de
  $S_1$. Quel est (en valeur absolue) la plus grande pente, la plus
  petite~?
\item D\'eterminer de m\^eme la plus petite pente de la fonction $S_n$. 
\end{itemize}

%%%%%
\sq[Lien entre  $F$ et $S_n$]

Soit $n$ un entier.
Trouver tous les endroits o\`u les fonctions $F$ et $S_n$ sont \'egales~;
autrement dit, 
montrer la propri\'et\'e \textbf{P2} (en compl\'etant les pointill\'es, voir
l'aide ci-dessous)~:
\begin{enonce1*}{Propri\'et\'e P2}{}
Soit $x \in [0,1]$~; alors
$$F(x)=S_n(x) \Leftrightarrow x \in \{\dots\}.$$
\end{enonce1*}


\paragraph{$\bullet$ Aides pour la preuve de P2}
Quels sont les points de l'intervalle $[0,1]$ o\`u $F$ s'annule~?
Trouver  les points $x$ o\`u $F(x)=f_0(x)$~; puis, pour chaque entier
$n \geq 1$,  ceux o\`u
$F(x)=S_n(x)$.

%%%%%
\sq[D\'erivabilit\'e en $0$]\footnote{Cette question n'est pas
  indispensable, mais elle aide \`a comprendre la fin de la preuve.}
\emph{On peut maintenant montrer que $F$ n'est pas d\'erivable en $0$.}
Aides : utiliser le lemme~\ref{lem:derivabilite} et les propri\'et\'es
\textbf{P1} et \textbf{P2}. 

%%%%%
\sq[Lien entre les taux d'accroissement de $F$ et des pentes de $S_n$]

\`A partir de maintenant, on se donne un nombre $x_0 \in ]0,1[$.
Montrer la propri\'et\'e \textbf{P3}~:
\begin{enonce1*}{Propri\'et\'e P3}{}
Pour tout entier $n>0$, il existe deux r\'eels $y_n$ et $y'_n$ tels que~:
\begin{enumerate}
\item $y_n$ et $y'_n$ sont de part et d'autre de $x_0$ (c'est-\`a-dire que
$x_0 \in [y_n,y'_n]$)~;
\item la longueur de l'intervalle $[y_n,y'_n]$ est inf\'erieure \`a
$1/8^n$~;
\item le taux d'accroissement de $F$ entre $y_n$ et $y'_n$ est
sup\'erieur (en valeur absolue) \`a $C_n$ (o\`u $(C_n)$ est la suite d\'efinie
dans la propri\'et\'e \textbf{P1}).
\end{enumerate}
\end{enonce1*}

\paragraph{$\bullet$ Aides pour la preuve de P3}
Que peut-on dire du taux d'accroissement de $F$ entre deux points
successifs o\`u $F=S_n$~?


\sq     
On reprend les notations de la question pr\'ec\'edente.
Soit, pour chaque entier $n>0$, $t_n$ le taux d'accroissement, pour $F$, entre
$x_0$ et $y_n$ et $t'_n$ celui entre $x_0$ et $y'_n$.
Montrer que l'un des deux taux d'accroissement
$t_n$ et $t'_n$ est sup\'erieur (en valeur absolue) \`a $C_n$ (aide~:
utiliser la
question~\ref{par:pentes}.\ref{qst:pentes}.\ref{sq:trois-pentes}). 

\sq
Montrer enfin que $F$ n'est pas d\'erivable en $x_0$ (utiliser le
lemme~\ref{lem:derivabilite}, partie~\ref{par:pentes}). 

\sq Conclure.



\end{exo}
