\Annee{2007}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{}
\Date{2007/01/15}
\Titre{Approximations affines}
\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...
\NiveauxSecondaires{}

\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...

\AnglesSecondaires{} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\FonctionsPlusieursVars}  %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...

\ThemesSecondaires{} 

\Objectif{Cet exercice classique montre comment on peut utiliser la formule de Taylor pour
estimer les petites variations d'une fonction de deux variables, dans des cadres tr\`es concrets. Les trois premi\`eres questions utilisent la formule \`a l'ordre $1$, la derni\`ere \`a l'ordre $2$. La question sur le c\^one est plus difficile parce qu'elle utilise  la notion
d'incertitude relative.}

\begin{exo}
\qst{Petites variations de la diagonale d'un carr\'e}
\sq Donner l'expression de la diagonale $d(x,y)$ d'un rectangle de c\^ot\'es $x$ et $y$.

\sq On consid\`ere un rectangle de c\^ot\'es $x=30 cm$ et $y=40 cm$. En utilisant l'approximation affine de $d$ (c'est-\`a-dire en n\'egligeant le reste dans la formule de Taylor), donner  une estimation de  la variation de $d$ lorsque $x$ augmente de 4mm et $y$ diminue de 1mm (sans utiliser la  calculatrice !). Calculer la longueur de la nouvelle diagonale \`a la calculatrice, et comparer avec l'estimation.

%11/5 de mm.

\qst{Petites variations de la surface d'une bo\^ite} On consid\`ere un container en carton de volume $1m^3$, 
dont la base a pour dimension $x=2m$ et $y=1m$ . On veut fabriquer un deuxi\`eme container en carton de m\^eme volume, avec une base de c\^ot\'es 195cm et 95cm. Donner (sans calculatrice) une estimation de la diff\'erence de surfaces ext\'erieures entre les deux containers \`a l'aide l'approximation affine. Calculer la nouvelle surface \`a l'aide de la calculatrice, et comparer avec l'estimation.

%r\'eponse : 10/4 en cm^2.

\qst{Petites variations du volume d'un c\^one}   On mesure le rayon $r$ et la hauteur $h$  d'un c\^one, avec une incertitude de $3\%$ sur le rayon,  et de $2\%$ sur la hauteur. \'Evaluez l'incertitude sur le volume $V(r,h)=\pi r^2 h/3$ du c\^one, à l'aide 
de l'approximation affine.


\qst{Approximation quadratique}
La surface $S(x,y)$ d'un container en carton de volume $1m^3$ dont la base a pour
dimension $x,y$ est la fonction
$$S(x,y)=2xy+\frac 2 x +\frac 2 y.$$ 
On considère le container de volume $1 m^3$ dont la base a les dimensions $x=1m$ et $y=1m$ (c'est donc
un cube).
On veut estimer
la variation de surface lorsque le c\^oté $x$ augmente de
$5cm$,
et le c\^oté $y$ diminue de $10cm$. 

\sq Ecrire la formule de Taylor à l'ordre $1$ au point $(1,1)$. Peut-on en déduire
une estimation de la variation?


\sq Répondre au problème en utilisant la formule de Taylor à l'ordre
2, et en supposant que le reste est négligeable devant les autres termes.


\sq  Calculer la variation à la calculatrice, et comparer avec votre
estimation.




\end{exo}


