\Annee{2002}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Titre{Introduction \`a l'alg\`ebre lin\'eaire : les carr\'es magiques d'ordre 3}

\Date{2002/03/01}
\Niveau{\DEUGi}
\NiveauxSecondaires{} %Eventuellement, les niveaux secondaires separes par des virgules 

\AnglePedagogique{\Decouverte} 
\AnglesSecondaires{\Ludique}

\Theme{\AlgLin} 

\ThemesSecondaires{}

\Objectif{Cet exercice est destin\'e \`a \^etre pos\'e au tout d\'ebut du cours
  d'alg\`ebre lin\'eaire, voire avant le cours.  On tente d'introduire
  ``naturellement'' certaines des notions-cl\'es, comme la d\'efinition
  d'espaces vectoriels, les bases (et l'existence de bases distinctes),
  la notion de somme directe, les applications
  lin\'eaires... Remarquons que l'espace
  vectoriel des carr\'es magiques a un avantage (p\'edagogique) sur les
  espaces $\bbR^n$ ou sur l'espace des polyn\^omes~: il n'a pas de
  base canonique.

Cet exercice est fortement inspir\'e d'un devoir donn\'e \`a l'universit\'e de
Lille, que l'on trouve dans l'annexe~7 du texte de Marc Rogalski,
\emph{Un enseignement de l'alg\`ebre lin\'eaire en DEUG A premi\`ere ann\'ee},
  (cahier de DIDIREM 11, octobre 91). On lira d'ailleurs avec profit ce
  texte d'une trentaine de pages qui pr\'esente un enseignement pens\'e dans
  sa globalit\'e (``ing\'enieurie longue''),
 ce qui n'emp\`eche pas d'en extraire des petits morceaux...

Il s'agit d'une activit\'e de d\'ecouverte de nouvelles notions, et il est
difficile de r\'ediger un sujet sans interventions d'un professeur...
On a donc signal\'e par le symbole (*) tous les endroits qui n\'ecessite
quelques commentaires. Voici des commentaires sur ces commentaires, dans
l'ordre d'apparition du texte~:
\begin{enumerate}
\item On esp\`ere que les \'etudiants auront trouv\'e les carr\'es magiques constants, et
au moins un autre (on peut \'eventuellement faire int\'eragir tous les groupes
d'\'etudiants pour cela). Introduire ici la notion de somme, de produit
ext\'erieur (d'autres id\'ees peuvent apparaitre, \`a l'aide de sym\'etries par
exemple~: elles pourraient d\'eboucher sur l'id\'ee d'application lin\'eaire,
mais il vaut sans doute mieux les laisser tomber pour le moment...).
 Remarquer que l'on d\'efinit
des nouvelles op\'erations (tr\`es simples), sur l'ensemble des carr\'es
magiques $E$. Introduire le terme \emph{espace vectoriel}, si le cours
correspondant n'a pas d\'ej\`a \'et\'e fait. On peut aussi parler de \emph{combinaison lin\'eaire}.
Faire remarquer que l'on n'est pas s\^ur d'avoir trouv\'e tous les carr\'es magiques...
\item  La question n'est pas tr\`es facile \`a faire comprendre, et il faudra
peut-\^etre la reformuler~; on esp\`ere trouver des sch\'emas du type
$$
\begin{tabular}{|ccc|}
\hline
a & b & c \\
? &e&?\\
?&?&?\\
\hline
\end{tabular}
$$
ou bien
$$
\begin{tabular}{|ccc|}
\hline
a & b & ? \\
? &e&?\\
?&?&i\\
\hline
\end{tabular}
$$
\item Simple v\'erification des r\'esultats.

\item Idem.


\end{enumerate}









}

\begin{exo}
\emph{Quand vous rencontrez le symbole (*), appelez le professeur et
  expliquez-lui vos r\'esultats.}

 
\partie{D\'efinition, objectifs}
Dans cet exercice, on appellera \emph{carr\'e magique} un tableau carr\'e
contenant $9$ nombres r\'eels, tel que les sommes des nombres de chaque ligne, de chaque
colonne et des deux diagonales soient \'egales~:
$$
\begin{tabular}{|ccc|}
\hline
a & b & c \\
d&e&f\\
g&h&i \\
\hline
\end{tabular}
$$
avec
$$
\begin{array}{ccc}
a+b+c=S  &a+d+g=S & a+e+i=S \\ 
d+e+f=S &\dots &  c+e+g=S \\
g+h+i=S &\dots  
\end{array}
$$
o\`u le nombre $S$ s'appelle \emph{la somme} du carr\'e.
\footnote{Les amateurs de casse-t\^ete rajoutent d'autres types de
  conditions, ce qui change radicalement la nature du probl\`eme (et le
  rend bien plus difficile).}

Le but de l'exercice est de trouver \emph{tous} les carr\'es magiques.

\textbf{Sur le plan p\'edagogique, l'exercice est en quelque sorte un pr\'etexte pour introduire
 dans ce cadre certaines des notions-cl\'es de l'alg\`ebre lin\'eaire~: \emph{espaces
 vectoriels, bases, dimension, sommes directes, applications
 lin\'eaires}.
\footnote{Les notions introduites ici de mani\`ere un peu floue seront pr\'ecis\'ees en
cours.}}
 Notamment, on n'essaiera pas de r\'esoudre le probl\`eme de la
 mani\`ere la plus simple ou la plus courte, on tentera plut\^ot de bien
 comprendre les propri\'et\'es des objets \'etudi\'es.





Plus pr\'ecis\'ement, voici une strat\'egie possible~: le probl\`eme revient \`a r\'esoudre
un syst\`eme de 8 \'equations lin\'eaires \`a 10 inconnues, et on a des m\'ethodes
pour faire ça. Mais ça n'est pas tr\`es agr\'eable~: avec un peu d'astuce et
de r\'eflexion,
on va essayer de diminuer le nombre de calculs.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie{Fabrication de quelques carr\'es magiques}\label{par:fabrication}
\qst{Premiers exemples}
Trouvez des exemples de carr\'es magiques les plus simples possibles.
Essayez d'obtenir deux exemples ``les plus diff\'erents possibles''.

\qst{Machines \`a fabriquer de nouveaux exemples}\label{qst:machines}
Comment peut-on obtenir de nouveaux exemples \`a partir de carr\'es magiques connus~?
Essayez de trouver le plus possible de tels proc\'ed\'es.

(*)



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie{Une r\'eduction du probl\`eme}
\qst{D\'ecomposition} Montrer que tout carr\'e magique peut se d\'ecomposer comme somme d'un carr\'e
magique constant et d'un carr\'e magique de somme nulle. 

\qst{Unicit\'e} Montrer que cette d\'ecomposition est unique.

\qst{} V\'erifiez que ces deux sous-ensembles de carr\'es magiques sont
aussi des espaces vectoriels (on dit que ce sont des \emph{sous-espaces
  vectoriels} de l'espace vectoriel $E$ des carr\'es magiques).


On traduit les propri\'et\'es de cette partie
 en disant que \emph{l'espace vectoriel des
  carr\'es magiques est la somme directe du sous-espace form\'e des carr\'es
  de somme nulle et du sous-espace form\'e des carr\'es constants}.

En quoi ceci permet-il de simplifier le probl\`eme~? Formuler cette
simplification le plus pr\'ecis\'ement possible.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie{R\'esolution}
On va chercher maintenant \`a d\'eterminer tous les carr\'es magiques de somme
nulle (r\'ep\'etons-le, en \'evitant de r\'esoudre un ``gros'' syst\`eme d'\'equations).

\qst{}
En pratique, quand on essaie de construire un carr\'e magique
 (de somme nulle), on commence
par remplir quelques cases par des valeurs arbitraires (il y a bien
s\^ur \'enorm\'ement de choix possibles), puis, au bout d'un moment, on n'a
plus du tout le choix~: la suite du remplissage du carr\'e est enti\`erement
d\'etermin\'ee par les valeurs choisies dans les premi\`eres cases.
Donnez un ou plusieurs exemples de remplissages de quelques cases du carr\'e qui
forcent ainsi toute la suite du remplissage du carr\'e.

(*)


\qst{}
Choisir l'un des sch\'emas trouv\'es \`a la question pr\'ec\'edente, et compl\'eter
dans le carr\'e les cases restantes en fonction des cases
pr\'es\'electionn\'ees.
 Obtient-on toujours ainsi un carr\'e magique de somme nulle~? Sinon, que
 faut-il rajouter~?

\qst{}\label{qst:bases}
\`A partir de la question pr\'ec\'edente, exprimer tous les carr\'es
 magiques de somme nulle \`a partir de quelques
carr\'es particuliers.

En d\'eduire l'ensemble de tous les carr\'es magiques, sous la m\^eme forme.

(*)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie{Encore quelques notions d'alg\`ebre lin\'eaires}
\qst{Bases et dimension}
\sq
Combien faut-il de coefficients, au minimum, pour exprimer l'ensemble
des carr\'es magiques~?
 
Ce ``nombre minimum de param\`etres \`a utiliser pour d\'ecrire un espace
vectoriel'' s'appelle la \emph{dimension} de l'espace vectoriel.
Donner de m\^eme la dimension du sous-espace vectoriel des carr\'es magiques constants,
puis celle des carr\'es magiques de somme nulle.

\sq 
 Les carr\'es magiques particuliers utilis\'es \`a la question~\ref{qst:bases} pour
d\'ecrire l'ensemble de tous les \'el\'ements de l'espace vectoriel forment
\emph{une base} de l'espace vectoriel (\`a condition toutefois qu'on en ait
pris le moins possible). 

Quel lien y a-t-il entre une base et la
dimension~? 

Un espace vectoriel peut-il avoir plusieurs bases
diff\'erentes~?

Voyez-vous des liens entre la somme directe et les bases~?

(*)

\partie{En guise de conclusion}
\emph{A quoi sert l'alg\`ebre lin\'eaire~?} Malheureusement, il n'y a pas de
r\'eponse simple au niveau DEUG~: en effet, la plupart des probl\`emes pour
lesquels on va utiliser l'alg\`ebre lin\'eaire peuvent aussi se r\'esoudre de
mani\`ere \'el\'ementaire, la plupart du temps en resolvant un syst\`eme
d'\'equations~; et ceci peut donner l'impression qu'on remplace des
calculs fastidieux mais simples par des arguments et des concepts tr\`es
compliqu\'es, tr\`es abstraits~: donc, l'utilit\'e en tant qu'\emph{outil}
n'est pas tr\`es claire (en DEUG en tout cas !)

On peut quand m\^eme faire sentir l'int\'er\^et de l'alg\`ebre lin\'eaire~:
celle-ci permet d'\emph{unifier} des probl\`emes et des situations a
priori tr\`es diff\'erentes, en donnant un cadre g\'en\'eral dans lequel ces
probl\`emes vont avoir le m\^eme aspect. Une telle d\'emarche s'appelle
\emph{la m\'ethode axiomatique}, et est fondamentale dans les
math\'ematiques r\'ecentes.

Plus pr\'ecis\'ement, on commence par 
remarquer que l'on sait additionner deux vecteurs de $\bbR^3$, ou deux
fonctions, ou deux polyn\^omes, ou deux suites de r\'eels (comment~?...), ou deux carr\'es
magiques~; et qu'on sait aussi multiplier chacun de ces objets par des r\'eels.

Puisque ces objets (diff\'erents) peuvent subir le m\^eme type
d'op\'eration, ayant les m\^emes propri\'et\'es formelles,
 les raisonnements ou les concepts qui utilisent uniquement ces
 op\'erations vont \^etre valables dans chacun des cinq cadres cit\'es. Par
 exemple, les notions de droite, de plan, de rep\`ere (on dira
 \emph{base}), que l'on connait d\'ej\`a dans $\bbR^3$, vont aussi \^etre valables
 pour des espaces de fonctions ou de polyn\^omes~! La propri\'et\'e qui dit
 que ``dans $\bbR^3$, deux plans ont toujours une droite en commun''
 deviendra ainsi ``dans tout espace vectoriel de dimension~3, deux
 sous-espaces vectoriel de dimension~2 ont toujours un sous-espaces de
 dimension~1 en commun'' et sera vraie quelle que soit la nature des
 \'el\'ements de l'espace vectoriel (fonctions, polyn\^omes, suites, carr\'es
 magiques ou autres~; et on pourra d'ailleurs la g\'en\'eraliser \`a des
 dimensions sup\'erieures).

 Ce point de vue donne \'egalement un support g\'eom\'etrique, et permet
de visualiser les objets~: dans l'exercice, l'ensemble des carr\'es
magiques s'av\`ere \^etre un espace vectoriel de dimension 3, ce qui
permettra d'y faire exactement les m\^emes op\'erations et les m\^eme
raisonnements que dans l'espace vectoriel $\bbR^3$, que l'on ``voit''
beaucoup mieux que l'espace des carr\'es magiques.

M\^eme si le DEUG n'en donne qu'un tout petit aperçu, la quantit\'e de
situations qui peuvent \^etre mod\'elis\'ees par l'alg\`ebre lin\'eaire est
immense, et va de questions purement math\'ematiques jusqu'\`a des probl\`emes
tr\`es concrets d'\'ecologie (dynamique des populations), de m\'et\'eorologie,
d'\'economie, de physique...

\end{exo}
