\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Annee{2001}
\Titre{Cercles osculateurs \`a un graphe}

\Date{2001/09/19}
\Niveau{\DEUGi}
\NiveauxSecondaires{}\AnglePedagogique{\Decouverte}
\AnglesSecondaires{\AQuoiCaSert}
\Theme{\Fonctions}
\ThemesSecondaires{D\'eveloppements limit\'es}

\Objectif{
Le but de l'exercice est de faire d\'ecouvrir la notion de cercle
osculateur, et de voir ainsi une application des d\'eveloppements
limit\'es. On se limite ici aux graphes de fonctions~; et on fait voir le
cercle osculateur de la mani\`ere suivante~: quand  on fait varier le
rayon d'un cercle tangent \`a la courbe en un point donn\'e, il y a un
moment o\`u le cercle passe d'un c\^ot\'e \`a l'autre de la
courbe. Remarquons qu'en g\'en\'eral (si on n'est pas en un point
critique de la courbure le long de la courbe), la courbe traverse son
cercle osculateur~; mais ce n'est pas le cas dans la premi\`ere
situation abord\'ee. 

Cet exercice est aussi  l'occasion d'insister sur le fait que les
d\'eveloppements limit\'es ne fournissent que des informations
\emph{locales}~: ici, le DL permet de donner la position du cercle par
rapport au graphe au voisinage du point de tangence, mais ce voisinage
devient arbitrairement petit quand le rayon se rapproche du rayon
osculateur (par valeurs sup\'erieures)~; c'est l'objet de la
question~2.

Remarquons que dans la premi\`ere question, on peut se passer de DL,
puisqu'on peut calculer explicitement les points d'intersections du
graphe avec le cercle en r\'esolvant les \'equations.  
Pour la fonction cosinus hyperbolique, par contre, \c{c}a n'est
plus possible ; de plus, on a choisi la fonction pour que les calculs
se passent bien (le rayon de courbure au point $(x,\mathrm{ch}(x))$
est $\mathrm{ch}^2(x)$).

Les calculs sont simples dans la question~1 (le rayon est $1/2$) ;
c'est beaucoup plus emb\^etant dans la question~3, surtout
pour le DL \`a l'ordre~3 qu'il faut effectuer si on veut r\'epondre
\`a la question pour le cercle osculateur (et voir que la courbe le
traverse effectivement). On pourrait s'aider d'un logiciel de calcul
formel.
D'autre part, un des int\'er\^ets de ces questions est
qu'elles obligent l'\'el\`eve \`a faire un DL ailleurs qu'en $0$.

Ne montrer les figures~\ref{fig:osculateurs1} et \ref{fig:osculateurs2} aux étudiants qu'après l'exercice...
\begin{figure}[h!t!]
\begin{center}
\includegraphics[height=5cm,width=9cm,angle=-90]{figures_cercles_osculateurs01.eps}
\caption{\label{fig:osculateurs1}Quelques cercles tangents à la courbe (1).}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[h!t!]
\begin{center}
\includegraphics[height=5cm,width=9cm,angle=-90]{figures_cercles_osculateurs02.eps}
\caption{\label{fig:osculateurs2}Quelques cercles tangents à la courbe (2).}
\end{center}
\end{figure}
}

\begin{exo}
\qst{}
Soit $f$ la fonction $x \mapsto x^2$, d\'efinie sur $\bbR$. On
consid\`ere un cercle $\calc$ de $\bbR^2$ tangent au graphe de
$f$ au point (0,0).

 Au voisinage de ce point, le cercle est-il situ\'e au-dessous ou
au-dessus du graphe de $f$ ? 

\qst{}
 Sur quel intervalle la r\'eponse \`a la question pr\'ec\'edente est-elle valide ?


\qst{} M\^emes questions en un autre point du graphe, par exemple au point
$(1,1)$.

 M\^emes questions en n'importe quel point du graphe de la fonction
\emph{cosinus hyperbolique}.

\paragraph{Pour aller plus loin.} A l'aide de Maple, faire une animation montrant la famille des
cercles tangents en un point donn\'e.


\end{exo}