\Annee{2001}
\Date{2001/10/30}
\Titre{Changement de l'ordre des termes d'une s\'erie}
\Niveau{\DEUGii}
\NiveauxSecondaires{}
\AnglePedagogique{\Experimental} 
\AnglesSecondaires{\MAO,\Visualisation}
\Theme{\Series} 
\ThemesSecondaires{Semi-convergence}
\Auteur{Sylvain \textsc{Crovisier}}
\AutresAuteurs{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}


\Objectif{
Sensibiliser les \'el\`eves au d\'elicat probl\`eme de la permutation des
termes d'une s\'erie semi-convergente. Au passage, on utilise une
version simple du ``regroupement par paquets'', et une comparaison série-intégrale.

Les s\'eries non-commutatives sont sans doute un sujet trop abstrait
pour \^etre abord\'e directement par les étudiants de DEUG~;
 c'est pourquoi nous leur proposons une phase
exp\'erimentale sous MAPLE (partie~\ref{serie_experimentation}).
Dans un deuxi\`eme temps (partie~\ref{serie_premiere}), on leur demande
de d\'emontrer ce qu'il ont observ\'e en prenant garde \`a rester dans un
cadre suffisamment concret.
Dans la partie \ref{serie_papier}, on traite d'abord le cas des séries
à termes positifs. Maintenant qu'on a fait remarquer aux étudiants
qu'il peut arriver des choses bizarres quand on permutte l'ordre des
termes de certaines séries, on peut essayer d'obtenir d'eux une preuve
de la convergence commutative dans le cas positif (alors que sans les parties
précédentes, on peut parier que la question para\^{\i}trait sans intér\^et
aux étudiants : <<~évidemment, ça change rien, l'addition est commutative...>>.
On revient ensuite à la série harmonique alternée, pour essayer  de
faire sentir aux étudiants la possibilité d'atteindre n'importe quelle
valeur en changeant l'ordre des termes.
Enfin, l'appendice exploite la non-commutativité pour obtenir un
calcul de cette série (sans les séries entières).

L'exercice est assez long et peut \^etre trait\'e
partiellement (par exemple, les parties~\ref{serie_experimentation} et
\ref{serie_premiere} peuvent \^etre traitées en TP sur logiciel de
calcul, puis la partie \ref{serie_papier} en TD, ou en ateliers en
travail en groupe)~;
 mais nous recommandons de conserver l'ordre propos\'e (et surtout de
ne pas proposer la partie~\ref{serie_papier} sans la
partie~\ref{serie_experimentation}). 

\paragraph{Remarque~:} la question 1 de la partie~\ref{serie_papier} est
volontairement vague, les étudiants ressentiront peut-\^etre le besoin
de formaliser ce que signifie ``changer l'ordre des termes''. On peut
les aider en leur suggérant de penser aux suites extraites
$(u_{\phi(n)})$ : ici, que doit vérifier l'application $\phi$ ?...
} 


\begin{exo}
Les questions qui n\'ecessitent une preuve et qui n'utilisent pas
MAPLE sont not\'ees ($\clubsuit$). Il est conseill\'e d'utiliser MAPLE au
maximum dans les calculs. Les questions sont logiquement ind\'ependantes.

\partie{Exp\'erimentation}
\label{serie_experimentation}
\qst{}
Notre s\'erie semi-convergente pr\'ef\'er\'ee est la s\'erie
harmonique altern\'ee de terme g\'en\'eral
$$u_n=-\frac{(-1)^n}n,\; \text{ avec }n\geq 1.$$
Ses termes sont successivement positifs et n\'egatifs~:

$$\sum u_n=\quad{}^{\displaystyle \frac{1}{1}}\;\;\;
{}_{\displaystyle -\frac{1}{2}}\;\;\;
{}^{\displaystyle +\frac{1}{3}}\;\;\; 
{}_{\displaystyle -\frac{1}{4}}\;\;\; 
{}^{\displaystyle +\frac{1}{5}}\;\;\;
{}_{\displaystyle -\frac{1}{6}}\;\;\;
{}^{\displaystyle +\frac{1}{7}}\;\;\;
{}_{\displaystyle -\frac{1}{8}}\;\;\;
{}^{\displaystyle +\frac{1}{9}}\quad+\cdots$$

V\'erifier (\`a l'aide de MAPLE) qu'elle est semi-convergente
(\textit{i.e.}~convergente mais non absolument convergente).
Quelle est sa somme~?

\qst{}
Nous construisons une nouvelle s\'erie $\sum v_n$ \`a partir
de $\sum u_n$ en modifiant l'ordre d'apparition de ses termes~:
cette fois, un terme positif sera suivi
de \textit{deux} termes n\'egatifs. La s\'erie $\sum v_n$
s'\'ecrit donc~:
$$\sum v_n=\quad{}^{\displaystyle \frac{1}{1}}\;\;\;
{}_{\displaystyle -\frac{1}{2}}\;\;\;
{}_{\displaystyle -\frac{1}{4}}\;\;\; 
{}^{\displaystyle +\frac{1}{3}}\quad
{}_{\displaystyle -\frac{1}{6}}\;\;\;
{}_{\displaystyle -\frac{1}{8}}\;\;\;
{}^{\displaystyle +\frac{1}{5}}\quad
{}_{\displaystyle -\frac{1}{10}}\;\;\;
{}_{\displaystyle -\frac{1}{12}}\quad+\cdots$$

Calculer les sommes partielles de $\sum v_n$ d'ordre $30$, $90$, $300$
et les comparer \`a la somme de $\sum u_n$.

\partie{Premi\`ere d\'emonstration}
\label{serie_premiere}
Alors que nous avons simplement modifi\'e l'ordre des termes,
les s\'eries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ semblent avoir
des sommes diff\'erentes !

La question 1 d\'emontre ce ``paradoxe'' en supposant que la s\'erie
$\sum v_n$ converge. La question 2 prouve cette convergence.
(Les questions sont ind\'ependantes.)

\qst{Les s\'eries ont des sommes diff\'erentes}
\sq ($\clubsuit$)
\'Ecrire la forme du terme g\'en\'eral $v_n$.
(On pourra distinguer pour $m\geq 1$, les termes
$v_{3m-2}$, $v_{3m-1}$ et $v_{3m}$.)

\sq
Nous notons $U_n$ et $V_n$ les sommes partielles de $\sum u_n$ et
$\sum v_n$~:
$$U_n=\sum_{k=1}^n u_k,\quad V_n=\sum_{k=1}^n v_k.$$
Montrer que la suite $(U_{2l})_{l\geq 1}$ est strictement croissante, et
que la suite $(V_{3m+1})_{m\geq 1}$ est strictement d\'ecroissante.
Trouver des entiers $l$ et $m$ plus grands que $1$ tels que
$U_{2l}\geq V_{3m+1}$. 

\sq ($\clubsuit$)
En admettant que $\sum v_n$ converge,
conclure que la somme de la s\'erie $\sum u_n$ est strictement sup\'erieure
\`a la somme de sa s\'erie modifi\'ee $\sum v_n$.

\qst{Preuve de la convergence}
Nous voulons montrer que $\sum v_n$ converge et
faire calculer par MAPLE la somme exacte de $\sum v_n$.
Nous aurons besoin du ``\textit{principe de regroupement par paquets}''~:
\vspace{0.5 cm}

{\bf Proposition : Principe de regroupement par paquets.}
\vspace{0.3 cm}\newline
\begin{tabular}{c c c}

 & & \parbox{13 cm}{\it Soit $\sum_{n\geq 1} a_n$ une s\'erie dont le terme g\'en\'eral $a_n$ tend
vers $0$. Nous d\'efinissons une nouvelle s\'erie $\sum_{m\geq 1} b_m$ en regroupant les
termes par paquets de trois~:
\begin{align*}
b_1&=a_1+a_2+a_3,\\
b_2&=a_4+a_5+a_6,\\
&\cdots\\
b_m&=a_{3m-2}+a_{3m-1}+a_{3m},\\
&\cdots
\end{align*}
Alors, les s\'eries $\sum a_n$ et $\sum b_m$ sont de m\^eme nature
(convergentes ou divergentes). Si elles
convergent, leurs sommes sont égales.}\\
\\
\end{tabular}
\newline
Ainsi pour \'etudier la convergence de $\sum v_n$ il est plus simple
de grouper les termes par paquets de trois et
d'introduire la s\'erie $\sum w_m$~:
\begin{align*}
w_1&=v_1+v_2+v_3,\\
w_2&=v_4+v_5+v_6,\\
&\cdots\\
w_m&=v_{3m-2}+v_{3m-1}+v_{3m},\\
&\cdots
\end{align*}
Calculer explicitement le terme g\'en\'eral $w_m$. En d\'eduire
que la s\'erie  $\sum v_n$ converge (utiliser le regroupement par
paquets). 
Demander \`a MAPLE sa somme,
et comparer \`a $\sum u_n$.
%changement

\partie{D\'emonstration sur papier ($\clubsuit$)}
\label{serie_papier}
Dans les deux premi\`eres parties, on a constat\'e exp\'erimentalement
que changer l'ordre des termes de la s\'erie harmonique altern\'ee
pouvait modifier la valeur de la somme, puis on a donn\'e une preuve de
ce r\'esultat. On propose maintenant d'explorer d'autres aspects du
changement d'ordre des termes d'une s\'erie.

\qst{Cas des s\'eries \`a termes positifs}

Soit $\sum u_n$ une s\'erie \`a termes positifs, et $\sum v_n$ une
s\'erie obtenue \`a partir de la pr\'ec\'edente en changeant l'ordre
des termes. 

\sq Si  $\sum u_n$ converge, est-ce que  $\sum v_n$ converge
n\'ecessairement ?

\sq Si les deux s\'eries convergent, ont-elles la m\^eme somme ?


\qst{Changement d'ordre qui fait diverger la s\'erie harmonique altern\'ee}

\sq Montrer qu'il est possible de changer l'ordre des termes de la s\'erie
harmonique altern\'ee pour obtenir une s\'erie divergente~!
(\textbf{Aide~:} la s\'erie \`a termes positifs $\sum u_{2n+1}$
est divergente).

\sq Montrer  qu'il est possible de changer l'ordre des termes de la s\'erie
harmonique altern\'ee pour obtenir une s\'erie dont la somme vaut
$100$ (ou bien tout autre nombre qui vous plaira).


\qst{Pour aller plus loin...}
Proposer une conjecture qui généraliserait à d'autres séries les résultats obtenus sur
la série harmonique alternée. Prouver la conjecture.





\partie{Appendice~: un calcul de la somme de la s\'erie harmonique altern\'ee}
\label{serie_appendice}
Nous souhaitons retrouver maintenant les sommes $S$ et $S'$
que donne MAPLE pour $\sum u_n$ et $\sum v_n$.

\qst{Une premi\`ere relation entre $S$ et $S'$}
On regroupe les termes de $\sum u_n$ par paquets de deux en d\'efinissant
la s\'erie $\sum t_m$ de terme g\'en\'eral
$$t_m=u_{2m-1}+u_{2m},\; \text{ avec }m\geq 1.$$
Calculer $t_m$ et
trouver une relation simple entre $t_m$ et $w_m$
(miracle~!). En d\'eduire une relation 
simple entre les sommes $S$ et $S'$.

\qst{Une seconde relation ($\clubsuit$)}
Ind\'ependamment de la question pr\'ec\'edente, montrer
que pour $m\geq 1$,
$$V_{3m}=U_{2m}+\sum_{k=m+1}^{2m}u_{2k}.$$
Pour \'etudier ensuite $\sum_{k=m+1}^{2m}u_{2k}$, comparer $u_n$ \`a
une int\'egrale et prouver,
$$\int_m^{2m}\frac{1}{2x}d x\geq \sum_{k=m+1}^{2m}u_{2k}
\geq \int_{m+1}^{2m+1}\frac{1}{2x}d x.$$
En d\'eduire la limite de $\sum_{k=m+1}^{2m}u_{2k}$ lorsque $m$
tend vers $+\infty$ puis une nouvelle relation entre les sommes $S$ et $S'$.

\qst{Conclusion ($\clubsuit$)}
Conclure en donnant les valeurs de $S$ et $S'$.

\qst{Question subsidiaire ($\clubsuit$)}
Prouver le ``principe de regroupement par paquets''.

\end{exo}
