%\duree{3h}
\Annee{2002}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Date{2002/04/10}
\Titre{Introduction aux courbes param\'etr\'ees du plan}
\Niveau{\DEUGii} 
\AnglePedagogique{\Decouverte}

\Theme{\GeometrieDiff}
\ThemesSecondaires{Courbes param\'etr\'ees}

\Objectif{Cet exercice propose une introduction aux propri\'et\'es
g\'eom\'etriques des courbes param\'etr\'ees du plan. On suppose ici que les
\'etudiants n'ont eu aucun cours sur le sujet.

En g\'en\'eral, un cours de maths commence par la donn\'ee des d\'efinitions
des objets que l'on va \'etudier. Cette mani\`ere de faire est \'evidemment
tr\`es \'economique, mais elle est aussi dangereuse, parce que d'un point
de vue historique, 
ces d\'efinitions sont en g\'en\'eral l'aboutissement d'un long processus de
pens\'ee (et certainement pas son commencement).

Pour que les \'etudiants aient une chance de comprendre le r\^ole des
d\'efinitions,
il faut, de temps en temps, prendre le temps d'inverser le proc\'ed\'e, en
les laissant d\'ecouvrir le plus possible par eux-m\^eme quelques
d\'efinitions.

Les notions de vitesse, longueur, acc\'el\'eration me semblent
particuli\`erement propices \`a ce travail, puisqu'il s'agit de notions
directement issues du monde physique, sur lesquelles chacun a une id\'ee
intuitive.

De plus, il y a un v\'eritable \emph{raisonnement} pour aboutir \`a la
d\'efinition de la longueur d'une courbe. Bien s\^ur, il ne s'agit pas
d'un raisonnement dans le langage habituel des maths (celui-ci ne peut arriver qu'apr\`es
que les objets aient \'et\'e formalis\'es), mais il s'agit bien d'un
type de raisonnement qui fait partie de l'activit\'e math\'ematique au
sens large. Le manque d'habitude de ce type de d\'emarche est d'ailleurs l'une des
difficult\'es rencontr\'ees par les \'etudiants :

``M'sieur, comment on peut justifier \emph{math\'ematiquement}
 que c'est ça la d\'efinition~??''

La r\'eponse est qu'on ne peut pas. Par contre, on peut le justifier
empiriquement, et aussi en confrontant la version math\'ematique de la
longueur \`a sa version intuitive, en v\'erifiant qu'on a bien les
propri\'et\'es attendues
(questions~\ref{qst:longueur}.\ref{sq:longueur-segment} et 
\ref{qst:longueur}.\ref{sq:plus-court}).

Bien s\^ur, ``inventer'' la d\'efinition de la longueur n'est pas un
exercice facile, la r\'esolution de la question~\ref{qst:longueur} peut
prendre une heure...}

\begin{exo}
On mod\'elise g\'en\'eralement la trajectoire d'un mobile par la notion de
\emph{courbe param\'etr\'ee}~: il s'agit simplement d'une application
(continue...) d'un intervalle de $\bbR$ (``le temps'') dans le plan
$\bbR^2$ ou l'espace $\bbR^3$.
Le but de cet exercice est de d\'efinir math\'ematiquement certaines
notions g\'eom\'etriques associ\'ees (vitesse, longueur, courbure), et de v\'erifier
que les d\'efinitions formelles se comportent de mani\`ere conforme \`a l'intuition.




\qst{Vitesse}
Soit $I$ un intervalle et $c : I \mapsto \bbR^2$ une courbe
param\'etr\'ee du plan.  On note, pour tout $t$ dans $I$, $c(t)=(x(t),y(t))$.
Comment d\'efiniriez-vous la \emph{vitesse} du mobile au temps
$t$~?

\qst{Longueur}\label{qst:longueur}
\sq
 Comment d\'efiniriez-vous la \emph{longueur} de la trajectoire du mobile~?

\sq\label{sq:longueur-segment}
Testez votre d\'efinition en calculant la longueur d'un segment, d'un
cercle de rayon $r$. Montrez en particulier que la longueur du
segment ne d\'epend pas de la vitesse \`a laquelle on le parcourt (et
qu'on trouve bien la m\^eme longueur, m\^eme si on le parcourt \`a une
vitesse qui n'est pas constante).

\sq[(optionnel) Le plus court chemin d'un point \`a un autre...]\label{sq:plus-court}
Montrer  formellement que toute courbe param\'etr\'ee, dans le plan, 
 reliant un point $A$ \`a un point $B$, est plus longue que le segment $[AB]$.

\textbf{Aides~:} pour simplifier, on peut supposer que $A=(0,0)$ et
 $B=(1,0)$. Comparez la longueur d'une courbe $c$ \`a celle de la courbe
 $c_0$ obtenue en projetant $c$ orthogonalement sur l'axe des $x$.

%\sq{Plus difficile} On peut aussi montrer qu'une courbe qui ne d\'ecrit
% pas le segment $[AB]$ est strictement plus longue que la longueur du segment.

\sq[(optionnel) Longueur d'une portion de graphe]
Soit $f:I \mapsto \bbR$ une fonction~; trouvez la formule donnant la
longueur du graphe de $f$. V\'erifiez la formule pour un arc de cercle.

\qst{Acc\'el\'eration}
\sq
 Comment d\'efiniriez-vous l'\emph{acc\'el\'eration} du mobile au temps
$t$~?
\sq Montrer le r\'esultat suivant~: si le mobile se d\'eplace \`a vitesse
constante, alors le vecteur acc\'el\'eration est perpendiculaire \`a la
courbe.

\qst{Courbure}
Soit $c$ une courbe param\'etr\'ee, de vitesse constante \'egale \`a $1$.
On d\'efinit la \emph{courbure} comme la longueur du vecteur
acc\'el\'eration. 

(Pour une courbe dont la vitesse n'est pas constante, on commence par
reparam\'etriser la courbe pour avoir une vitesse constante).

\sq Calculer la courbure d'un segment, puis d'un cercle de rayon
$r$. Intuitivement, quel lien y a-t-il entre la courbure et l'aspect de la courbe
en un point~?


\sq On voudrait montrer qu'en un point $c(t_0)$ o\`u la courbure n'est pas
nulle, ``la courbe est vraiment courbe'', au sens suivant~: 
\emph{pour tous temps $t_1$ et $t_2$ assez proches de $t_0$, les points
$c(t_0)$, $c(t_1)$, $c(t_2)$ ne sont pas align\'es.}

\textbf{Aides~:} On peut simplifier le probl\`eme en faisant un
changement de variable adapt\'e (= en choisissant un bon rep\`ere).
Trouver un \'equivalent (quand $t$ tend vers $t_0$)
 de la pente de la droite reliant un point $c(t)$
au point $c(t_0)$.

\vspace{0.15cm}\centerline{\rule{4cm}{.2pt}}

\begin{enonce2*}{Autre interpr\'etation g\'eom\'etrique}
Voyons une autre mani\`ere d'interpr\'eter g\'eom\'etriquement la courbure.

Commençons par nous souvenir de la tangente.
Soit $c$ une courbe param\'etr\'ee (parcourue \`a vitesse constante), $c(t_0)$ un point de la courbe. Notons
$\vec{v}(t_0)$ le vecteur vitesse au point $t_0$~; la tangente au
point $c(t_0)$ est la droite passant par ce point et dirig\'ee par le
vecteur $\vec{v}(t_0)$. On peut montrer que c'est aussi la droite
 ``qui approxime le mieux
la courbe au point $c(t_0)$''~: plus pr\'ecis\'ement, c'est la seule
droite du plan qui poss\`ede un param\'etrage $t \mapsto d(t)$ tel que
$$
d(d(t),c(t))=o(t).
$$
(la distance entre la droite et la courbe est n\'egligeable devant $t$).

Revenons maintenant \`a la courbure. Supposons que la courbure n'est pas nulle,
et notons $R(t_0)$ son inverse, qu'on appelle le \emph{rayon de
courbure}. Soit  ${\cal C}_{t_0}$ l'unique cercle 
tangent \`a la courbe $c$ au point $c(t_0)$,
 et de rayon  $R(t_0)$~; on l'appelle \emph{cercle osculateur}.
 On peut alors montrer que ce cercle est le cercle
qui ``approxime le mieux la courbe au point $c(t_0)$ parmi tous les
cercles tangents \`a la courbe en $c(t_0)$''~: c'est le seul
cercle du plan qui poss\`ede un param\'etrage $t \mapsto {\cal C}(t)$ tel que
$$
d({\cal C}(t),c(t))=o(t^2).
$$
On dit aussi que ce cercle est ``tangent \`a la courbe $c$ \`a l'ordre $2$''.
\end{enonce2*}

\end{exo}
