\Annee{2002}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}
\Date{2001/10/01}
\Titre{Sym\'etries des cristaux.}
\Theme{\AlgLin}
\Niveau{\DEUGii}
\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert}


\Objectif{Cet exercice permet de comprendre un joli r\'esultat de cristallographie.
Il fait appel aux changements de bases (les \'etudiants sont souvent g\^en\'es par le fait
que deux bases puissent donner le m\^eme r\'eseau). }

\begin{exo}
Un des r\'esultats majeurs de la cristallographie est que << l'ordre de sym\'etrie >>
d'un cristal ne peut \^etre \'egal qu'\`a $1,2,3,4$ ou $6$.
Qu'est-ce que c'est que << l'ordre de sym\'etrie >> d'un cristal ?
L'ordre d'une rotation $f$ est le plus petit entier $n>0$ tel que $f^n=Id$.
L'ordre de sym\'etrie d'un cristal est l'ordre maximal d'une rotation qui pr\'eserve le cristal.

L'ordre de sym\'etrie du cristal est une donn\'ee importante car 
pour \'etudier un cristal, on regarde le spectre de diffraction d'un faisceau
de rayons X qui traverse le cristal (ce spectre ressemble en g\'en\'eral \`a un
ensemble de points lumineux situ\'es sur un r\'eseau et dont l'intensit\'e lumineuse
d\'ecroit avec la distance \`a l'origine, voir figures),
et l'ordre de sym\'etrie du cristal peut se lire dans l'ordre de sym\'etrie du spectre
de diffraction.

Voici quelques exemples de spectres de diffraction de rayons X qu'on peut obtenir~:

\centerline{\hfill
\includegraphics[height=3cm]{asymm.eps}\hfill
\includegraphics[height=3cm]{saed.eps}\hfill
\includegraphics[height=3cm]{nitrure_de_silicium_Si3N4.eps}\hfill
\includegraphics[height=3cm]{cristal_de_Tridymite.eps}\hfill
}

Le but de l'exercice est de d\'emontrer le r\'esultat de cristallographie
ci-dessus pour des cristaux bidimensionnels
(le r\'esultat se d\'emontre de la m\^eme fa{\c c}on pour les cristaux tridimensionels, mais il faut
quelques connaissances sur les rotations de $\bbR^3$. 
Par contre l'ordre de sym\'etrie peut aussi prendre les valeurs $5,8$ et $12$ en dimension
$4$ ou $5$, et d'autres valeurs au fur et \`a mesure que la dimension augmente...)

On mod\'elise un cristal bidimensionnel 
par l'ensemble des points de coordonn\'ees enti\`eres (positives ou n\'egatives)
dans une certaine base $(\vec u,\vec v)$ du plan.

\sq Soit $(\vi,\vj)$ une base orthonorm\'ee. Faire des dessins des cristaux
correspondant aux bases suivantes:
$$(\vec u=\vi,\vec v=\vj), (\vec u=\vi,\vec v=\frac12\vj), 
  (\vec u=\vi,\vec v=\frac12\vi+\frac{\sqrt{3}}{2}\vj), (\vec u=\vi,\vec v=\vi+\vj)$$
Trouver sur le dessin les rotations qui laissent invariants ces cristaux et
donner l'ordre sym\'etrie de ces cristaux.

\sq Soit $f$ une application lin\'eaire qui pr\'eserve un cristal $C$.
Montrer qu'il existe une base dans laquelle la matrice de $f$ est \`a coefficients entiers.

\sq Sachant qu'une rotation d'angle $\theta\in \left] -\pi,\pi\right]$ admet
pour matrice $\Mx{\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta}$
dans une base orthonorm\'ee directe,
 montrer, en utilisant la trace que l'angle d'une rotation qui pr\'eserve un cristal
appara\^\i t forc\'ement dans la liste $\theta \in\{0,\pi,\pm\pi/2,\pm2\pi/3,\pm\pi/2,\pm\pi/3\}$.
En d\'eduire le r\'esultat de cristallographie.

En particulier, un cristal bidimensionel ne peut pas \^etre invariant par une rotation d'ordre $5$.
 En dimension 4 et 5, la liste
des ordres de sym\'etries possibles s'agrandit et contient $5,8,12$.
Dans les les ann\'ees 80, on a trouv\'e certains mat\'eriaux ayant un ordre de sym\'etrie \'egal \`a $5$, qu'on appelle dor\'enavant des quasi-cristaux.
Un des mod\`eles de quasi-cristaux est la projection
d'une tranche d'un \emph{r\'eseau} (\ie l'ensemble des points \`a coordonn\'ees enti\`eres dans une base)
de dimension 4 ou plus dans l'espace de dimension 3.


\end{exo}