\Annee{2001}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Date{2001/09/01}
\Titre{Dessiner le crocodile : visualisation de la multiplication complexe}
\Niveau{\DEUGi} 
\AnglePedagogique{\Visualisation}
\AnglesSecondaires{\Ludique}
\Theme{\Complexes}

\Objectif{L'image d'un crocodile par l'application $z \mapsto z^{2}$
est un crocodile qui se mord la queue, mani\`ere visuelle percevoir la
non-injectivit\'e. Cet exercice est inspir\'e du d\'ebut du film
d'Adrien Douady sur la dynamique du lapin, o\`u Adrien explique sans
formule, graphiquement, la fonction $z \mapsto z^2 + c$.

On peut faire placer des points de l'image du croco
au fur et \`a mesure des questions 1 et 2.} 
        


\begin{exo}
% mettre ici le texte de l'exercice.
% pour introduire une sous-question, utiliser la commande \sq
% Ne pas utiliser de macro exotique sans la definir.
% Conventions: les nombres reels, complexes, entiers etc: \bbR \bbC \bbN.
% Lettres caligraphiques: \cala \calb \calc \cald etc... donnent des A,B,C,D caligraphiques.
% les fichiers de figures doivent etre dans un repertoire nommé "figures".

On voudrait comprendre ``quel effet cela fait \`a un nombre complexe
de se faire \'elever au carr\'e''. Pour \c{c}a, on cherche \`a
dessiner l'image du crocodile par l'application $\phi$ :  
$$
\begin{array}{rcl}
\bbC & \rightarrow & \bbC \\
 z &  \mapsto  & z^{2}.
\end{array}
$$

\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[height=5cm]{crocodile.epsi}
%\par\centerline{\hbox{\psfig{figure=croco.ps,width=6cm}}}
\par
\caption{}
%\label{wsnfig1}
\end{center}
\end{figure}
\sq Ecrire les parties r\'eelles et imaginaires de $z^{2}$ en fonction
de celles de $z$, puis le module et l'argument de  $z^{2}$ en fonction
de ceux de $z$. Commentaire ? 


\sq Dessiner une demi-droite issue de $0$ et son image par $\phi$.

\sq Quelle est l'image d'un cercle centr\'e en $0$ ? Placer aussi les
images de quelques points particuliers du cercle. 

\sq ``Dessiner l'image du crocodile''.

\sq ``Comment voit-on que l'application n'est pas injective ?''

\sq Dessiner l'image r\'eciproque du crocodile (attention, il y a un piège...).

\sq (plus facile) Dessiner de m\^eme l'image du croco par  $z \mapsto
z+1+2i$, $z \mapsto (\sqrt 3 +i)z$. 
\end{exo}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
