\Annee{2002}
\Titre{Des d\'es ronds}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}

\Date{2002/09/10} 

\Niveau{\DEUGii} 

\AnglePedagogique{\Ludique} 

\AnglesSecondaires{\AQuoiCaSert}

\Theme{\FonctionsPlusieursVars}

\ThemesSecondaires{\GeometrieDiff,\Probas} 

\Objectif{Dans cet exercice, on donne une motivation inhabituelle pour calculer des aires de surfaces courbes:
la probabilit\'e pour qu'un point marqu\'e sur un d\'e rond arrive \`a telle ou telle hauteur.
Il n'est pas intuitif qu'on obtienne une probabilit\'e uniforme (sur l'intervalle $[0,2R]$) dans le cas d'un d\'e sph\'erique.
Une des difficult\'es sera sans doute de mod\'eliser le tirage du d\'e sph\'erique car
l'espace des positions d'une sph\`ere est compliqu\'e (c'est $SO_3$), m\^eme si l'ensemble des positions
d'un point sur cette sph\`ere est param\'etr\'e par la sph\`ere.

Cet exercice vient d'une question question que m'avait pos\'e un ami physico-chimiste.
Il voulait comprendre la probabilit\'e que le point marqu\'e soit \`a telle ou telle hauteur,
pour mod\'eliser le mouvement d'une prot\'eine \`a la surface d'une \'electrode si je me rappelle bien...}



\begin{exo}
On vous propose un jeu de d\'es un peu sp\'ecial. 
Le d\'e est une boule de 10cm de diam\`etre sur laquelle un point rouge est marqu\'e.
On lance le d\'e sur une table (horizontale) et on attend qu'il s'arr\^ete. Le r\'esultat du lancer est la hauteur en centim\`etres 
entre le point rouge et la table.
Ainsi, le d\'e prend ses valeurs entre 0 et 10.
Vous misez puis vous devez choisir l'une des options suivantes:
\begin{itemize}
\item Pari bas: vous pariez que le r\'esultat du d\'e sera compris entre 0 et 3.
Si vous avez raison, vous gagnez 4 fois la mise (c'est \`a dire, vous reprenez votre mise, plus 3 fois son montant). 
Sinon, vous perdez la mise.
\item Paris haut: vous pariez que le r\'esultat du d\'e sera compris entre 3 et 10.
Si vous avez raison, vous gagnez 1.33 fois la mise (c'est \`a dire, vous reprenez votre mise, plus le tiers de son montant). 
Sinon, vous perdez la mise.
\end{itemize}

Quelle option choisissez-vous~?\\

\textsc{Suggestion}~: il est peut-\^etre plus facile, pour commencer, de traiter le cas d'un d\'e cylindrique\dots

\end{exo}
