\Annee{2001}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Date{2001/09/01}
\Titre{Des Dominos en S\'erie}
\Niveau{\DEUGii} .
\NiveauxSecondaires{} 
\AnglePedagogique{\Visualisation}
\AnglesSecondaires{\AQuoiCaSert, \Ludique}
\Theme{\Series} 
\ThemesSecondaires{Dominos}

\Objectif{Visualiser la s\'erie harmonique (somme des inverse des
entiers) ; voir un contexte physique o\`u elle appara\^{\i}t, et o\`u
sa divergence \`a une signification : on peut construire une pile de
domino avec un porte-\`a-faux aussi grand qu'on veut (en th\'eorie...)
En pratique, m\^eme si la divergence de la s\'erie est tr\`es lente,
 on arrive \`a obtenir un d\'ecalage d'une longueur sup\'erieure \`a
celle d'un  domino, ce qui est d\'ej\`a spectaculaire (si vous n'avez
pas de domino, un jeu de cassettes audio homog\`ene fait tr\`es bien
l'affaire !) 

On peut sans doute donner cet exercice en introduction aux s\'eries,
avant qu'elles aient \'et\'e abord\'ees en cours (la divergence de la
s\'erie est tr\`es facile \`a montrer en regroupant les termes entre $n$ et $2n$).

Question subsidiaire : combien faut-il de dominos, au minimum et en
 th\'eorie, pour
avoir un d\'ecalage de 1 dominos ? Comparer \`a la pratique. Combien
 faut-il de dominos pour avoir un d\'ecalage de 10 dominos ? On peut
 r\'epondre \`a ces questions par une estimation sur machine, ou bien
 en utilisant la comparaison entre la s\'erie et une int\'egrale.

Remarque : c'est un exercice difficile ; le plus simple est sans doute
de raisonner en partant du haut de la pile, et de calculer par
r\'ecurrence l'emplacement du centre de gravit\'e des $k$ dominos du
dessus dans la position limite.

On peut aussi obtenir une solution ``qualitative''~: supposons que la
pile de dominos est constitu\'ee de sous-piles exactement verticales
(sans aucun porte-\`a-faux), le porte-\`a-faux ne provenant que du d\'ecalage
entre deux sous-piles successives. Notons $n_1$, $n_2$, \textit{etc.} le
nombre de dominos de chaque sous-pile (en partant du haut). Alors si
chaque $n_k$ est assez grand devant la somme des $n_i$ pr\'ec\'edents, le
d\'ecalage entre deux sous-piles successives peut \^etre choisi \'egal \`a
$1/4$. Ceci prouve que l'on peut obtenir un d\'ecalage total arbitrairement grand.
Il s'agit l\`a de la preuve la plus courte, probablement pas la plus facile
\`a comprendre...

Une derni\`ere remarque~: on montre dans cet exercice qu'on peut atteindre
un porte-\`a-faux arbitrairement grand~; cependant, il n'existe sans doute
pas de pile de dominos, constitu\'ee d'un infinit\'e de dominos satisfaisant
aux conditions d'\'equilibre, avec un porte-\`a-faux infini. Ceci
demanderait une preuve~!

Cet exercice est extrait de \emph{La physique en question, M\'ecanique},
J.-M. L\'evy-Leblond, \'editions Vuibert (question 13).}

\begin{exo}
Zazie joue avec ses dominos. Elle veut les empiler l'un sur l'autre en
surplomb, chaque domino d\'epassant celui sur lequel il est pos\'e, de
fa\c con a construire une pile aussi inclin\'ee que possible. Quel est
le nombre maximal de dominos, et quel est le porte-\`a-faux maximal
(distance horizontale entre le domino sup\'erieur et le domino
inf\'erieur) que l'on peut atteindre en principe sans que la pile
s'effondre ?

\textbf{Suggestion :} \`a quelle condition le dernier domino de la
pile (celui du haut) est-il en \'equilibre sur l'avant-dernier ? Dans
cette position, \`a quelle condition ces deux-l\`a sont-ils en
\'equilibre sur l'avant-avant-dernier, etc. ?

\end{exo}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
