\Annee{2001}
\Auteur{Arnaud \textsc{Ch\'eritat}}
\Titre{Eclipses}
\Date{2001/10/19}
\Niveau{\Licence}
\AnglePedagogique{\Visualisation}
\AnglesSecondaires{\Ludique}
\Theme{\GeomEucl}
\ThemesSecondaires{\GeometrieDiff}

\Objectif{Cet exercice fait appel aux qualités de visualisation
  géométrique, ainsi qu'à la culture mathématique de l'étudiant.
  Indications~: il faut modéliser le plan (orienté) de l'orbite par sa
  normale, considérer la Terre fixe, le cylindre tronqué tangent à
  l'étoile et pointant vers la Terre (ou bien un cône tronqué issu de
  la Terre et tangent à l'étoile dans la
  question~\ref{arnaud_cheritat_eclipses_label_1})~; le lieu sur la
  sphère des centres de la planète tels qu'elle intersecte le
  cylindre/cône est un disque sphérique (calotte)~; son orthogonal est
  une bande délimitée par deux cercles parallèles de même rayon.}


\begin{exo}
  
Une des méthode de chasse des exoplanètes consiste à mesurer la
luminosité d'une étoile. Si celle-ci diminue soudainement (mais
néanmoins légèrement) pendant quelques heures ou quelques jours, et
ce périodiquement, il y a des chances pour qu'une planète soit en
orbite autour de l'astre. Pour cela, il faut que l'orbite de la
planète la fasse passer devant l'astre. On dira que la planète est
``à éclipses''.

\qst{} Nous considérons une planète possédant une orbite circulaire de
rayon $R$ centrée sur son étoile, dont nous connaissons pas
l'orientation dans l'espace. L'étoile est assimilée à une sphère de un
rayon $r$. En négligeant la taille de la planète devant celle de
l'astre, la taille de l'astre devant la taille de l'orbite, et enfin
la taille de l'orbite devant la distance à la Terre, (c'est
raisonnable si on cherche une configuration analogue à celle de la
Terre et du Soleil), calculer (a) la probabilité pour que la planète
soit à éclipses, (b) la probabilité pour que la planète éclipse en ce
moment même son étoile.

\

\noindent Du mal~? Voici une indication~: une orientation aléatoire de
l'orbite se modélise par la sphère muni de la mesure de probabilité
uniforme.

\qst{} Trouver une astuce quand on ne néglige plus la taille de la
planète devant celle de l'astre.

\qst{}\label{arnaud_cheritat_eclipses_label_1}
Expliquer la démarche de calcul quand on néglige plus rien, sans
expliciter la formule.

\

\noindent Note~: L'hypothèse que l'orbite est circulaire est restrictive~: de
nombreuses planètes extrasolaires ont une orbite elliptique.

\end{exo}
