\Annee{2001}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
%Faire un fichier par exercice. 
\Titre{Sommes des puissances \emph{p}-i\`eme des entiers}

\Date{2001/10/03}
\Niveau{\DEUGi} 
\NiveauxSecondaires{}
\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert} 
\AnglesSecondaires{} 
\Theme{\AlgLin}
\ThemesSecondaires{\Polynomes}
\Objectif{Le but de l'exercice est de montrer comment les concepts
d'alg\`ebre lin\'eaire peuvent \'eclairer une question naturelle, la
recherche d'une formule pour la somme des carr\'es (ou des cubes, etc...) des $n$
premiers entiers.

Par ``formule'', on entendra : trouver un polyn\^ome $Q_\alpha$ tel que pour
tout $n$, 
$$
\sum_{k=1}^n k^\alpha=Q_\alpha(n).
$$
(on peut discuter cette formulation avec les \'etudiants, par exemple
oralement, comme propos\'e \`a la question~1.)

Ici, l'efficacit\'e de l'alg\`ebre lin\'eaire appara\^{\i}t surtout \`a la
question \textbf{2.a}, qui montre une variante du principe ``quand
l'unicit\'e implique l'existence''~:
 pour montrer l'existence d'une formule, on est
ramen\'e \`a prouver la surjectivit\'e d'une certaine application lin\'eaire,
et un argument de dimension (le ``th\'eor\`eme noyau-image'') permet de se
ramener au calcul du noyau, qui est tr\`es simple. (Au passage, on doit
dire pourquoi un polyn\^ome p\'eriodique est n\'ecessairement constant).
La d\'etermination explicite de la formule revient alors \`a inverser la
matrice de $\Phi$.

On obtient les formules suivantes~:
$$
\sum _{n=1}^{N}{n}^{2}=\frac{1}{6}\,N\left (N+1\right )\left (2\,N+1\right )
\ \ ; \ \
\sum _{n=1}^{N}{n}^{3}=\frac{1}{4}\,{N}^{2}\left (N+1\right )^{2} \ \ ;
$$
$$
\sum _{n=1}^{N}{n}^{4}=\frac{1}{30}\,N\left (N+1\right )\left (2\,N+1\right 
)\left (3\,{N}^{2}+3\,N-1\right ).
$$

Remarque : on pourrait aussi montrer \emph{a priori} que la condition
donn\'ee au \textbf{1.b} (existence de $P$) est n\'ecessaire pour qu'une
telle formule existe.

Possibilit\'e d'extension : pour quelles fractions rationnelles $F$
existe-t-il une fraction rationnelle $G$ telle que pour tout $n$, 
$$
\sum_{k=1}^n F(k)=G(n) \ \ \ \  ?
$$
(indication : utiliser la remarque pr\'ec\'edente.)
}

\begin{exo}
Vous connaissez la formule donnant la somme des $n$ premiers entiers :
$$
\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}.
$$
On voudrait savoir s'il existe des ``formules analogues'' pour les sommes
de puissances sup\'erieures~:
$$
\sum_{k=1}^n k^2 = ? \ \ \ \ \sum_{k=1}^n k^3 = ? \ \ \ \ \sum_{k=1}^n k^4 = ? \ \ \ \ \mbox{
etc...}
$$


\qst{Calcul de la somme des carr\'es.} 
 \sq{Formulation pr\'ecise :}
transformer la question vague en une question pr\'ecise (qu'est-ce
qu'une ``formule analogue'' ?). 


\sq{Une id\'ee :}  \emph{supposons qu'on connaisse un polyn\^ome $P$
 tel que $X^2=P(X+1)-P(X)$}. On pourrait alors obtenir la formule
 recherch\'ee~; voyez-vous comment ?

\sq{R\'esolution :} trouver un tel polyn\^ome
$P$~; donner une formule pour la somme des carr\'es des $n$ premiers
entiers.


\qst{Somme de puissances sup\'erieures.}
Soit $\alpha$ un entier sup\'erieur ou \'egal \`a 3~; on cherche maintenant
une formule pour la somme 
$$
\sum_{k=1}^n k^\alpha.
$$
\sq En g\'en\'eralisant la m\'ethode utilis\'ee \`a la question~1, montrer qu'il
existe une ``formule analogue'' \`a celle obtenue pour la somme des
carr\'es~;

\noindent -- \textbf{remarque~:} on ne demande pas de trouver explicitement la
formule, mais seulement de montrer son existence~;

\noindent -- \textbf{suggestion~:}
on consid\`ere l'application 
$$
\begin{array}{rcl}
\Phi : \bbR^{\alpha+1}[X] & \longrightarrow &  \bbR^{\alpha}[X] \\
P(X) & \longmapsto & P(X+1)-P(X).
\end{array}
$$
A quelle propri\'et\'e de cette application peut-on relier le probl\`eme~?



\sq Donner une formule pour $\alpha=3$.

\sq Expliquer la strat\'egie pour obtenir une formule pour $\alpha=4$.
\end{exo}


