\Annee{2004}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{Fran\c{c}ois \textsc{B\'eguin}}
\Date{2004/10/30}
\Titre{Construction de fractales g\'eom\'etriques}
\Niveau{\DEUGii} 
\NiveauxSecondaires{\Licence}

\AnglePedagogique{\Decouverte} 
\AnglesSecondaires{\Ludique,\Experimental} 

\Theme{\Fractales} 
\ThemesSecondaires{\Suites,\Topologie,\Ensembles,\AlgLin,\GeomEucl,\Complexes,\Groupes,\Equadifs} 

\Objectif{Voir plus bas...}

\begin{exo}
Ceci n'est pas \`a proprement parler un exercice, mais un ensemble d'exercices qui ont \'et\'e  utilis\'es dans le cadre d'un stage ``de transition DEUG-Licence'' (oups, je veux dire ``de transition L2-L3'').

Nous avons pris pour pr\'etexte la construction d'une famille d'ensembles  fractals dans le plan, les ensembles-limite des \emph{syst\`emes de fonctions it\'er\'es} ou \emph{IFS}.
Il s'agit d'un proc\'ed\'e g\'en\'eral qui permet de construire une infinit\'e de fractales, dont les fractales g\'eom\'etriques classiques (flocon de neige, tapis ou triangle de Sierpinski,
ensemble de cantor, foug\`ere, arbre, \'eponge de Menger...).

On peut se faire rapidement une id\'ee du contenu du stage en visitant \href{http://classes.yale.edu/Fractals/}{ce tr\`es joli site} (regarder notamment les rubriques 1.E et 1.F, ``Iterated functions systems'' et ``Inverse problems'').


Pour un math\'ematicien professionnel, le fractal est obtenu facilement comme point fixe d'un proc\'ed\'e contractant dans un espace m\'etrique complet (en l'occurrence, il s'agit de l'espace des compacts du plan, muni de la distance de Hausdorff).
Pour les \'etudiants, nous avons pass\'e deux semaines \`a introduire le proc\'ed\'e, 
\`a prouver l'existence d'un ensemble-limite ``\`a la main'', puis  \`a montrer l'unicit\'e de l'ensemble-limite (qu'on parte d'un clown ou d'un triangle, on converge vers le triangle de Sierpinski, voir par exemple notre feuille II.2).




\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.9\textwidth}{
Voici le point important~: \emph{toutes les activit\'es techniques \'etaient motiv\'ees par notre histoire de fractales}. La motivation principale \'etait de donner un sens aux ensembles-limite qu'on voit appara\^itre quand on it\`ere un certain proc\'ed\'e.
On esp\`ere que ce point de vue aide \`a donner un sens aux manipulations abstraites d'objets formels, sans lesquelles on ne peut pas faire de maths.
}}\end{center}

Cette histoire permet de manipuler un certain nombre de techniques~:
\begin{itemize}
\item de la th\'eorie des ensembles, par exemple des unions et intersections infinies
(feuille I notamment)~;
\item des applications lin\'eaires du plan de mani\`ere tr\`es visuelle, un exemple de d\'ecomposition simple motiv\'ee par des logiciels java (feuille II)~;
\item les propri\'et\'es des similitudes (feuille II)~;
\item des nombres complexes (pratiques pour d\'ecrire et d\'emontrer des propri\'et\'es des similitudes, feuilles II et IV)~;
\item de la topologie, la notion de limite, un exemple d'espace m\'etrique naturel mais tr\`es diff\'erent des espaces euclidiens, les notions de bases ~: ouverts, ferm\'es, adh\'erence...(feuilles III et IV)~;
\item une suite r\'eelle d\'efinie par r\'ecurrence \`a l'aide d'une fonction contractante, comme exemple simple analogue \`a notre proc\'ed\'e de construction de fractales (feuille IV.2)~;
\item une introduction au th\'eor\`eme du point fixe contractant~;
\item des \'equations diff\'erentielles, et comment un proc\'ed\'e contractant permet de d\'emontrer l'existence et l'unicit\'e des solutions sur des exemples (feuille IV.5), ce qui donne une introduction \`a la preuve du th\'eor\`eme de Cauchy-Lipschitz~;
\item les paradoxes de l'infini, et la notion de d\'enombrabilit\'e (\`a travers l'histoire de l'Hotel de Hilbert, feuille V).
\end{itemize}
Le ``quizz'' donn\'e \`a la fin du stage donne une id\'ee de quelques points techniques pr\'ecis qui ont \'et\'e abord\'es.

Les 60 pages distribu\'ees aux \'etudiants au cours du stage sont disponibles 
\href{http://matexo.emath.fr/exemaalt/stage-fractales/index.html}{ici}.

\end{exo}


