\Annee{2007}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{}
\Date{2007/01/15}
\Titre{Graphes et lignes de niveau des fonctions de deux variables}
\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...
\NiveauxSecondaires{}

\AnglePedagogique{\Decouverte} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...

\AnglesSecondaires{\Visualisation} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\FonctionsPlusieursVars} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...

\ThemesSecondaires{} 

\Objectif{Cet exercice peut servir d'introduction aux fonctions de plusieurs variables, et notamment \`a leurs repr\'esentations graphiques sous forme de graphe et de lignes de niveaux (\emph{avant} tout cours sur le sujet). Il devrait aider les \'etudiants \`a se forger une image mentale de ce qu'est une fonction de deux variables.}

\begin{exo}

\partie{La presqu'\^ile}

Les trois dessins ci-dessous repr\'esentent des vues en relief d'une presqu'\^ile, avec le plan du niveau de la mer. Les vues sont orient\'ees respectivement vers le Nord, l'Ouest, et le Sud. On a repr\'esent\'e les lignes de niveaux d'altitude 0m, 25m, 50m, \emph{etc.}
(le sommet est situ\'e \`a une altitude d'environ 250m).

%\hspace{-0.5cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{preskil2-S.eps}
\includegraphics[width=7cm]{preskil2-N.eps}
\includegraphics[width=7cm]{preskil2-E.eps}
\end{center}

%\hspace{-0.5cm}
%\begin{center}
%\framebox{
%\hspace{-1cm}
%\includegraphics[width=8cm]{preskil2-N.eps}
%\hspace{-3cm}
%\includegraphics[width=8cm]{preskil2-E.eps}
%\hspace{-3cm}
%\includegraphics[width=8cm]{preskil2-S.eps}
%\hspace{-1.7cm}
%}
%%\hspace{-13.3cm}
%\end{center}

\qst{Lignes de niveau}

\sq Dessiner, en vue du dessus, l'allure de la ligne de niveau $0$
(ensemble des points de la presqu'\^ile situ\'es \`a l'altitude $0$).
On utilisera le cadre fourni.

\sq M\^eme question pour la ligne de niveau 100m, 
puis pour la ligne de niveau 200m (sur le m\^eme dessin).



\qst{Profils du relief}

\sq Dessiner le profil  du relief le long d'un itin\'eraire Sud-Nord passant par le sommet de la presqu'\^ile.

\sq M\^eme question pour un itin\'eraire passant au dessus de l'axe Nord-Sud repr\'esent\'e sur les dessins.
M\^eme question pour un itin\'eraire passant par le col de la presqu'\^ile.

\sq \footnotesize (optionnelle) \normalsize  Sur un autre dessin, repr\'esenter le profil  du relief le long d'un itin\'eraire Ouest-Est passant au dessus de l'axe Ouest-Est repr\'esent\'e.


%\newpage

\framebox{\parbox{0.9\textwidth}{
En fait, la surface dessin\'ee ci-dessus est le graphe de la fonction
de deux variables d\'efinie par
$$f(x,y)=-\frac{x^{3}}{3}-xy-y^{2}+x+\frac{3}{2}.$$


Ceci signifie :
 \begin{itemize}
\item qu'on a muni l'espace d'un rep\`ere orthonorm\'e $(Oxyz)$,
\item et qu'on a repr\'esent\'e \emph{l'ensemble des points $(x,y,z)$ de l'espace
tels que $z=f(x,y)$.}
\end{itemize}
L'axe $(Oz)$ est dirig\'e vers le haut, l'axe $(Ox)$ vers l'Est, et l'axe $(Oy)$ vers le Nord.
}}

\qst{} \sq \'Etiqueter les axes ('$x$', '$y$' ou '$z$') sur les  trois dessins de l'\'enonc\'e. \sq Tracer les axes sur les deux dessins des questions 1 et 2, et les \'etiqueter.


\qst{} \sq Sachant que $x$, $y$ et $z$ sont exprim\'es en centaines de m\`etres,
donner l'altitude du point de la presqu'\^ile d'abscisse $x=0$ et d'ordonn\'ee $y=0$.
\sq Positionner ce point sur chacun des dessins pr\'ec\'edents.
\sq \footnotesize (optionnelle) \normalsize M\^emes questions pour le point correspondant \`a $x=0$ et $y=1$.


\bigskip

\qst{} \sq La ligne de niveau $0$ dessin\'ee \`a la question~\textbf{1.a} 
est un ensemble de points dans le plan des variables $x$ et $y$.
 Quelle est l'\'equation de cet ensemble ? \sq Exprimez cette \'equation \`a l'aide de la fonction $f$. \sq M\^emes questions pour la ligne de niveau 100m.

\qst{} \sq Le  profil du relief au-dessus de l'axe Nord-Sud,  dessin\'e \`a la question
\textbf{2.b}, est un ensemble de points dans le plan des variables $y$ et $z$.  Quelle est l'\'equation de cet ensemble ?
 \sq Exprimez cette \'equation \`a l'aide de la fonction $f$. \sq
En d\'eduire  l'altitude du point culminant de cet itin\'eraire. V\'erifier graphiquement.
\normalsize


\partie{La selle de cheval}


\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm,]{x2-y2.eps}
\end{center}


Le dessin  montre
 le graphe de la fonction d\'efinie par $f(x,y) = x^2-y^2$. On a repr\'esent\'e les lignes de niveau d'altitudes enti\`eres ($0,1,2,...$).
 
 \qst{Lignes de niveau}

\sq Indiquer sur le dessin les trois  courbes correspondant  respectivement aux niveaux $-1$, $0$, $1$.


\sq Donner l'\'equation de la ligne de niveau $1$. En s'aidant du dessin fourni, repr\'esenter cette ligne de niveau (dans le plan des variables $x$ et $y$).

\sq M\^emes questions pour la ligne de niveau $0$. En exprimant $x$ en fonction de $y$, montrer par le calcul que cette ligne est la r\'eunion de deux droites.

\qst{Fonctions partielles}

\sq Donner l'expression de la fonction partielle $\varphi : x \mapsto f(x,0)$. Dessiner son graphe (dans le plan des variables $x$ et $z$). Repr\'esenter la courbe correspondante sur le dessin en trois dimensions.

\sq M\^emes questions pour la fonction partielle $\psi : y \mapsto f(-1,y)$. 




\newpage


\textbf{1.a et b}\centerline{\framebox{\parbox{0.9\textwidth}{
$$
%\left(
\begin{array}{lcr}
  & \mbox{Nord}  &   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
 \mbox{Ouest~\hspace{4.9cm}~} &  &  \mbox{~\hspace{4.9cm}~Est} \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
  &  \mbox{Sud}  &   
\end{array}
%\right)
$$
}}}

\bigskip
%\centerline{Nord}
%\vspace{3cm}
%Ouest \flushright{Est}
%\vspace{3cm}
%\centerline{Sud}

\textbf{2.a et b}\centerline{\framebox{\parbox{0.9\textwidth}{
$$
%\left(
\begin{array}{lcr}
  & \mbox{Haut}  &   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
 \mbox{Sud~\hspace{4.9cm}~} &  &  \mbox{~\hspace{4.9cm}~Nord} \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
   \\
  &  \mbox{Bas}  &   
\end{array}
%\right)
$$
}}}
\newpage












\end{exo}


