\Annee{2001}
\Auteur{Matthieu \textsc{Romagny}}
\Titre{Introduction \`a la notion d'axiome}

\Date{2001/09/26}

\Niveau{\DEUGi}

\AnglePedagogique{\Decouverte}

\AnglesSecondaires{\Historique,\Metamath,\Langage}

\Theme{\Groupes}
\ThemesSecondaires{\AlgLin}
\Objectif{Ce TD est plut\^ot con\c{c}u comme \'etant pr\'eparatoire \`a un cours,
de fa\c{c}on \`a amener le plus naturellement possible la notion d'axiome. Il
semble que le statut des axiomes d\'estabilise beaucoup les \'etudiants lorsqu'on
entame l'alg\`ebre lin\'eaire, d'autant plus qu'un espace vectoriel est une
superposition de plusieurs structures qu'on leur << parachute >> en une seule
d\'efinition... }

\begin{exo}
\partie{Exp\'eriences}
\newcommand{\ecart}[1]{\mathit{#1}}
\newcommand{\seconde}{\ecart{seconde}}
\newcommand{\tierce}{\ecart{tierce}}
\newcommand{\quarte}{\ecart{quarte}}
\newcommand{\quinte}{\ecart{quinte}}
\newcommand{\sixte}{\ecart{sixte}}
\newcommand{\septieme}{\ecart{septieme}}
\newcommand{\unisson}{\ecart{unisson}}

Les deux premi\`eres questions sont deux variantes du m\^eme probl\`eme math\'ematique.

\qst{Inspiration musicale} soit
${\cal G}=\{\,$do,r\'e,mi,fa,sol,la,si$\,\}$ la gamme musicale. On s'int\'eresse
aux intervalles (\'ecarts de notes): par exemple, la tierce --- en d\'epit de son
nom --- est un \'ecart de {\em deux} notes. Nous allons regarder la tierce comme
une application de ${\cal G}$ dans ${\cal G}$, qui << d\'ecale >> de deux notes,
et on la notera $\tierce$. Ainsi on a $\tierce(\mathrm{do})\,=\,\mathrm{mi}$.
Les autres intervalles de la gamme sont d\'esign\'es ci-dessous:

\begin{center}
\begin{tabular}{l}
la $\seconde$~: \'ecart de 1 note \\
la $\tierce$~: \'ecart de 2 notes \\
la $\quarte$~: \'ecart de 3 notes \\
la $\quinte$~: \'ecart de 4 notes \\
la $\sixte$~:  \'ecart de 5 notes \\
la $\septieme$~: \'ecart de 6 notes \\
la $\unisson$~: un \'ecart de 0 note est parfois appel\'e {\em unisson}.
\end{tabular}
\end{center}

On ne tient pas compte de l'{\em octave}, \'ecart de 7 notes, c'est-à-dire qu'on consid\`ere
comme \'egales une note, et elle-m\^eme plus une octave.
On a obtenu un ensemble $G=\{\unisson,\seconde,\tierce,\quarte,\quinte,\sixte,\septieme\}$,
sous-ensemble de ${\cal F}({\cal G},{\cal G})$. On peut donc composer les \'el\'ements de $G$,
en tant qu'applications.

\sq Calculez $\tierce \circ \quarte$, $\quarte \circ \tierce$,
$\seconde \circ \septieme$, $\sixte \circ \quinte$.

\sq Montrez que quand on compose deux \'el\'ements de $G$, le r\'esultat est encore
un \'el\'ement de $G$. On dit que $G$ est {\em stable} pour l'op\'eration $\circ$.

\sq Si $x\in G$, on note $x^2$ pour $x\circ x$, $x^3$ pour $x\circ x\circ x$, etc.
Montrez que pour tout $x\in G$, on a $x^7\,=\,\unisson$.

\qst{Inspiration complexe} soit $H=\{\,e^{2ik\pi/7}\,|\,k\in {\bf Z}\,\}$.

\sq Montrez que ${\rm card}(H)=7$, et que $H$ est stable pour la multiplication.

\sq Montrez que $\forall z \in H,\quad z^7=1$.

\qst{Sym\'etries du pentagone r\'egulier}

Trouvez toutes les isom\'etries du plan qui laissent le pentagone r\'egulier invariant
(on admettra qu'il n'y en a que 10). Leur ensemble est not\'e $G$.

\sq Montrez que si on prend $s$ et $t$ deux telles isom\'etries, alors $s\circ t$
en est encore une.

\sq Montrez que $\forall s \in G, \quad s^{10}={\rm id}$.

\partie{<< Axiomatisation >>}

{\it
On remarque que les r\'esultats des exercices 1 et 2 se ressemblent. C'est là le
d\'ebut de la d\'emarche axiomatique: lors de d\'emonstrations (sur des cas particuliers)
mettant en jeu certains objets (dans nos exemples, les ensembles $G$ ou $H$), on essaie
d'identifier pr\'ecis\'ement quelles sont les propri\'et\'es essentielles qui << font que ça
marche >> . On formule ensuite une d\'efinition abstraite qui englobe le cas de nos
objets $G$ ou $H$, dans laquelle les propri\'et\'es n\'ecessaires sont appel\'ees {\em axiomes}.

Cette d\'emarche est au coeur des maths modernes - depuis le 19\`eme si\`ecle. Elle est
difficile car il n'est pas ais\'e d'identifier les propri\'et\'es en question, celles qui
seront << les bonnes >> pour le math\'ematicien. Par exemple, la notion de {\em groupe}
que nous pr\'esentons maintenant est n\'ee en presque un si\`ecle. Galois, dans les ann\'ees
1820, l'a pressentie via des ensembles de permutations (bijections d'un ensemble fini);
puis Cayley et d'autres ont \'etudi\'e des groupes vers 1880, sous l'aspect
d'automorphismes d'espaces lin\'eaires. Mais ce n'est qu'au d\'ebut du vingti\`eme si\`ecle
que la d\'efinition a \'et\'e formul\'ee une fois pour toutes, et fix\'ee telle que nous la
connaissons aujourd'hui.
}

\vspace{5mm}

En regardant les exercices pr\'ec\'edents on arrive à \'enoncer une d\'efinition:

\vspace{2mm}

\noindent {\bf D\'efinition:} {\it Un {\em groupe} est un ensemble $G$ avec une application
appel\'ee {\em loi de composition} et not\'ee
$$
\begin{array}{rccc}
*: & G\times G & \to & G \\
   & (g,h) & \mapsto & g*h
\end{array}
$$
tels que
\vspace{1mm}
\begin{flushleft}
\begin{tabular}[t]{ll}
(N) & il existe un \'el\'ement $e$ appel\'e {\em neutre} v\'erifiant
$\forall x \in G,\;e*x=x*e=x$. \\
& \\
(A) & la loi $*$ est {\em associative}, c'est-à-dire
$\forall (x,y,z)\in G^3,\;(x*y)*z=x*(y*z)$. \\
& \\
(I) & tout \'el\'ement de $G$ a un (unique) {\em inverse}:
$\forall x \in G,\;\exists y\in G,\;x*y=y*x=e$.
\end{tabular}
\end{flushleft}
}
\vspace{5mm}

\begin{center} ------------------------------  \end{center}

\vspace{2mm}

Presque tout le temps, l'inverse de $x$ est not\'e $x^{-1}$. De m\^eme on \'ecrit $x^2$
pour $x*x$, et $x^0$ d\'esigne le neutre $e$. On peut donc d\'efinir $x^i$ pour n'importe
quel entier $i\in {\bf Z}$.

\qst{Exemples}

Montrez que les ensembles des exercices 1 et 2, munis de leurs lois, sont des groupes.

\vspace{5mm}

D'autres exemples sont l'ensemble des r\'eels, muni de l'addition, ou l'ensemble ${\bf Z}$ des
entiers relatifs. Attention: ${\bf N}$ muni de l'addition n'est pas un groupe ! On voit sur
ces exemples qu'un groupe peut \^etre de cardinal fini, ou non.
On va maintenant, pour cet objet g\'en\'eral qu'est le {\em groupe}, d\'emontrer un r\'esultat
semblable à celui des exercices de d\'epart:

\vspace{4mm}
\fbox{ \begin{tabular}{c}
Soit $G$ un groupe fini à $n$ \'el\'ements ($n\ge 1$). Alors, pour tout $x\in G$, on a $x^n=e$.
\end{tabular}
}

\partie{D\'emonstrations}

\qst{un cas simple}

Dans cet exercice on suppose de plus que le groupe est {\em commutatif}, c'est-à-dire que l'on suppose
$$
\forall (x,y)\in G,\;x*y=y*x\;.
$$

\vspace{2mm}

\sq Soit $x\in G$ fix\'e. Montrez que l'application $f_x:G\to G$ telle que
$f_x(g)=g*x$, est une bijection. Donnez sa bijection r\'eciproque.

\sq Expliquez pourquoi cela a un sens de parler du << produit >> $g_1*\dots*g_n$
de tous les \'el\'ements de $G$, dans n'importe quel ordre.

\sq Montrez que $g_1*\dots*g_n=(g_1x)*\dots*(g_nx)$. D\'eduisez-en que $x^n=e$.


\qst{cas g\'en\'eral}

Dans cet exercice on ne suppose plus que $G$ est commutatif (cf question pr\'ec\'edente).
Par ailleurs, pour all\'eger la notation, on d\'esormais $xy$ au lieu de $x*y$.

\sq En consid\'erant la suite $1,x,x^2,\dots$, montrez qu'il existe un entier
$l\ge 1$ tel que $x^l=e$.

\sq D\'esormais on choisit pour $l$ le plus petit de ces entiers.
Pour un \'el\'ement $g\in G$, on note
$$
C(g)=\,\{\,x^ig\,\}_{i\in {\bf Z}}\;.
$$

\vspace{2mm}

\sq Montrez que ${\rm card}(C(g))=l$ (utilisez la bijection
$f_g$ de l'exercice pr\'ec\'edent).

\sq Soit $g_1$ et $g_2$ dans $G$. Montrez qu'on a soit $C(g_1)\cap C(g_2)=\emptyset$,
soit $C(g_1)=C(g_2)$.

\sq Montrez qu'il existe un nombre fini $r$ d'\'el\'ements $g_1,\dots,g_r$
tels que
$$
G=C(g_1)\sqcup\dots\sqcup C(g_r)\qquad \mbox{($\sqcup$ est l'union disjointe)}.
$$

\sq En calculant les cardinaux des 2 ensembles de l'\'egalit\'e pr\'ec\'edente,
conclure que $x^n=e$.



\end{exo}
