\Annee{2002}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\AutresAuteurs{Panos \textsc{Papazoglou}}
\Titre{Hyperplans et famille de vecteurs en position g\'en\'erale}

\Date{2002/03/13}
\Niveau{\DEUGi}
\NiveauxSecondaires{\DEUGii}
\AnglePedagogique{\Ludique} 
\AnglesSecondaires{\Experimental}

\Theme{\AlgLin} 

\ThemesSecondaires{}

\Objectif{
Ce sujet propose une jolie question de math\'ematiques.
La preuve est assez difficile \`a trouver, bien que la r\'eponse semble
intuitivement \'evidente (quoiqu'en dimension 47~?...) Apr\`es avoir
laisser les \'etudiants explorer la question, on leur ``vend'' donc un
sch\'ema de preuve~; la difficult\'e consiste alors \`a comprendre ce sch\'ema
(qui implique une r\'ecurrence subtile), et \`a en r\'ediger tous les
d\'etails de la façon la plus convainquante possible.

Remarque sur la deuxi\`eme partie~: on peut aussi montrer la version
affine de cette propri\'et\'e~: il existe dans $\bbR^n$ une famille
infinie de vecteurs telle que d\`es qu'on en prend $n+1$, ils sont
affinement ind\'ependants (prendre les vecteurs du type  $(x,x^2, \dots, x^n)$).
 Une cons\'equence int\'eressante, et imm\'ediate,
est un th\'eor\`eme de plongement ``du type Whitney''~: tout
 graphe se plonge dans $\bbR^3$
(sans point double, contrairement \`a $\bbR^2$)~; et plus g\'en\'eralement, tout
complexe simplicial de dimension $k$ se plonge dans $\bbR^{2k+1}$
(et on comprend bien la raison du ``$2k+1$'').
Le plongement des graphes est probablement \`a la port\'ee des \'etudiants
de DEUG, et donnerait une motivation int\'eressante \`a l'exercice~;
malheureusement, celui-ci deviendrait beaucoup plus long.
}

\begin{exo}
\partie{Hyperplans de $\bbR^n$}
\emph{Le but de cette partie est de r\'esoudre le probl\`eme suivant~:}


\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.8\textwidth}{
\begin{enonce1*}{Question}
$\bbR^n$ est-il r\'eunion d'un nombre fini d'hyperplans~?
\end{enonce1*}
}}
\end{center}

On rappelle qu'un hyperplan dans $\bbR^n$ est un sous-espace vectoriel
de dimension $n-1$.

\qst{Exploration}

\sq[Cas $n=2$] Traduisez le probl\`eme en dimension $2$. Avez-vous une id\'ee
intuitive de la r\'eponse~? Pouvez-vous prouver que votre intuition est juste~?

\sq[Cas $n=3$]  M\^emes questions pour $n=3$.

\sq[Cas g\'en\'eral]
Avez-vous une id\'ee de la r\'eponse dans le cas g\'en\'eral~? Comment
pourrait-on \'ecrire une preuve~?

\qst{Petites questions}
Commencez par r\'epondre aux questions suivantes~:

\sq Si $H_1$ et $H_2$ sont deux hyperplans de $\bbR^n$, quelle est
la dimension de $H_1 \cap H_2$~?

\sq M\^eme question pour un hyperplan $H_1$ et un plan $P$
(c'est-\`a-dire un sous-espace vectoriel de dimension $2$).


\qst{Aide \`a la preuve en dimension $n \geq 3$}
On propose le sch\'ema de preuve suivant~:

``On raisonne par r\'ecurrence sur la dimension. On consid\`ere des
hyperplans $H_1, \dots, H_k$ dans $\bbR^n$. En utilisant l'hypoth\`ese
de r\'ecurrence, on trouve un vecteur $e_1$ qui est dans $H_1$ et qui
n'est dans aucun des autres hyperplans. De m\^eme, on trouve un
vecteur $e_2$  qui est dans $H_2$ et qui
n'est dans aucun des autres hyperplans. On se place ensuite dans le plan
$P$ engendr\'e par $e_1$ et $e_2$. En \'etudiant dans $P$ les sous-espaces $H_i
\cap P$, on arrive \`a la conclusion.''

Il manque bien s\^ur beaucoup de d\'etails. R\'edigez soigneusement une
preuve en suivant ce sch\'ema.

\partie{Famille de vecteurs en position g\'en\'erale}
\vspace{0.5cm}
\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.9\textwidth}{
\emph{Le but de cette partie est de trouver, dans $\bbR^n$,  une famille
$\cal F$ contenant une infinit\'e de vecteurs et ayant la propri\'et\'e
suivante~:  d\`es qu'on choisit $n$ vecteurs dans la famille $\cal F$,
ils sont lin\'eairement ind\'ependants.}
}}
\end{center}

\qst{Cas $n=2$} Traduire la question dans $\bbR^2$~; trouver
une famille de vecteurs dans $\bbR^2$ qui r\'epond \`a la
question. Pouvez-vous en trouvez d'autres~?

\qst{Cas $n=3$} Traduire la question dans $\bbR^3$. Essayer d'y
r\'epondre.


\qst{Suggestion}
On propose d'\'etudier la famille $\cal F$ contenant tous les vecteurs
du type 
$$
v(x)=(1,x,x^2,\dots x^{n-1}).
$$

Montrer que cette famille r\'epond au probl\`eme.

\noindent \textbf{Indication} Si $n$ vecteurs sont li\'es, il existe un hyperplan
qui les contient (pourquoi~?)~; quelle est l'\'equation cart\'esienne d'un
hyperplan de $\bbR^n$~?

\qst{Retour sur la partie I}
A l'aide de la famille $\cal F$, trouver une nouvelle preuve pour la
partie I.

\noindent\textbf{Indication}
 Combien de vecteurs de la famille $\cal F$ un hyperplan peut-il contenir au maximum~?



\end{exo}
