\Annee{2001}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Date{2001/09/01}
\Titre{Visualisation des notions d'injectivit\'e et de surjectivit\'e}
\Niveau{\DEUGi}
\AnglePedagogique{\Visualisation} 
\AnglesSecondaires{\Ludique}
\Theme{\Ensembles}

\Objectif{La premi\`ere fois qu'on tombe sur ces d\'efinitions, elles
semblent tr\`es abstraites, impossibles \`a retenir. On essaie
d'amener les \'etudiants \`a visualiser ces notions (si on les
visualise assez bien, il n'y a aucun effort de m\'emoire \`a faire
pour retrouver les d\'efinitions), \`a manipuler les
d\'efinitions, \`a r\'ealiser qu'ils les ont d\'ej\`a rencontr\'ees sous
d'autres mots, \`a les exprimer g\'eom\'etriquement pour des fonctions
de $\bbR$ dans $\bbR$. 

Remarque : les questions \textbf{d.} et \textbf{e.} sont volontairement
vagues, on ne peut y r\'epondre qu'apr\`es avoir pr\'ecis\'e les
ensembles de d\'epart et d'arriv\'ee.

Suggestion : rajouter d'autres questions sur le lien
avec la r\'esolution d'\'equations (chercher des solutions revient
toujours \`a chercher des ant\'ec\'edants pour une certaine
application ; ainsi, l'existence de solutions est reli\'ee \`a la
surjectivit\'e, et l'unicit\'e \`a l'injectivit\'e...).
} % Decrire ici l'objectif de l'exercice


\begin{exo}
% mettre ici le texte de l'exercice.
% pour introduire une sous-question, utiliser la commande \sq
% Ne pas utiliser de macro exotique sans la definir.
% Conventions: les nombres reels, complexes, entiers etc: \bbR \bbC \bbN.
% Lettres caligraphiques: \cala \calb \calc \cald etc... donnent des A,B,C,D caligraphiques.
% les fichiers de figures doivent etre dans un repertoire nommé "figures".

\sq A l'aide de ``patates'',  dessiner une application non injective,
puis une application non surjective.

\sq En vous aidant \'eventuellement des dessins, retrouver les
d\'efinitions d'injectivit\'e et de surjectivit\'e. Ecrire ces
d\'efinitions avec des mots et avec des symboles, et trouver deux
formulations \'equivalentes de l'injectivit\'e.


\sq Interpr\'eter les phrases suivantes en termes d'injectivit\'e et de surjectivit\'e :
(1) Il existe des nombres complexes diff\'erents qui ont le m\^eme
carr\'e. (2) Tout nombre r\'eel positif a une racine carr\'ee. (3) Le
nombre 3 n'est le sinus d'aucun nombre. (4) Un nombre complexe est
caract\'eris\'e par ses parties r\'eelles et imaginaires. (5)  Un
nombre complexe non nul est d\'etermin\'e  par son module et son
argument.


\sq  ``L'application qui associe \`a chaque individu son pr\'enom
est-elle injective, surjective ? M\^eme question pour l'application
num\'ero de s\'ecurit\'e sociale''. 


\sq  L'application sinus est-elle injective ? Comment cela se
traduit-il, g\'eom\'etriquement, au niveau du graphe ? M\^emes
questions pour la surjectivit\'e.

\sq R\'esoudre l'\'equation $e^{z}=1+i\sqrt 3$.

L'application $z \mapsto e^{z}$ est-elle injective, surjective ?


\end{exo}
