\Annee{2001}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
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\Titre{Int\'egration d'\'equivalents}

\Date{2001/09/20} 
\Niveau{\DEUGii}

\NiveauxSecondaires{} 

\AnglePedagogique{\Decouverte}

\AnglesSecondaires{\Experimental}

\Theme{\Fonctions}

\ThemesSecondaires{\'Equivalents}

\Objectif{Manipulation d'\'equivalents, de la d\'efinition de la
limite, int\'egration d'in\'egalit\'es, le tout motiv\'e par un
probl\`eme ouvert. La r\'edaction ci-dessous est volontairement la
plus concise possible (destin\'ee \`a un travail en petits groupes,
sur une dur\'ee assez longue). Voici quelques pistes pour guider les
\'etudiants et \'eventuellement aller plus loin~:
\begin{itemize}
\item essayer sur des exemples~; ce qui am\`ene la question~: trouver
des fonctions simples \'equivalentes \`a $1/x$ (ce qui d\'ej\`a
peut am\`ener \`a revenir sur la d\'efinition du mot \'equivalent)~;
$1/x$, $1/x + 1/x^2$, $1/(x+10)$, $1/(x + ln(x))$  sont des bonnes
condidates~;

\item la conjecture la plus simple est sans doute ``$F$ tend vers
$+\infty$'', qu'il est d\'ej\`a int\'eressant de prouver~;

\item c'est l'occasion de rappeler la propri\'et\'e fondamentale de
positivit\'e de l'int\'egrale (en pratique, int\'egration des
in\'egalit\'es)~;

\item on peut ensuite montrer qu'en $+\infty$ la fonction $F$ est
coinc\'ee entre $\frac{1}{2}\mathrm{ln}$ et $\frac{3}{2}\mathrm{ln}$~;

\item puis prouver que $F \sim \mathrm{ln}$~;

\item on peut enfin s'attaquer \`a l'\'enonc\'e g\'en\'eral~: si $f$
est \'equivalente \`a une fonction $g$ positive dont l'int\'egrale est
divergente, alors les primitives de $f$ et de $g$ sont \'equivalentes.

\end{itemize}
\hspace{0cm}
}

\begin{exo}

Soit $f : \bbR^{*+} \rightarrow \bbR$ une fonction (suppos\'ee
continue pour pouvoir \^etre int\'egr\'ee), et $F$ une primitive de
$f$. On suppose qu'en $+\infty$, $f(x) \sim \frac{1}{x}$.

Que peut-on dire du comportement de $F$ en $+\infty$ ?

\paragraph{Pour aller plus loin.} Proposer une conjecture qui
g\'en\'eralise cette situation. Prouver la conjecture...

\end{exo}
