\Annee{2001}
\Auteur{Arnaud \textsc{Ch\'eritat}}
\Titre{Intérêts composés}
\Date{2001/10/19}
\Niveau{\DEUGi}
\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert}
\Theme{\Suites}

\Objectif{L'exercice fait intervenir une suite arithmogeométrique,
ainsi que l'inégalité $(1+x)^{12} > 1+ 12 x$ quand $x>0$ dans la
question~4. La question~\ref{arnaud_cheritat_interets_label_1} est
vague~: on peut par exemple dire qu'une dette dont les intérêts
s'accumulent ($a=0$) forme une suite géométrique, et que $\tau'$ est
l'unique taux mensuel donnant la même dette au bout de 12 mois que le
taux annuel $\tau$ au bout d'un an.}


\begin{exo}

Au Crédit Exponentiel, on prète l'argent au taux annuel $\tau$. Plus
précisément, chaque année, l'emprunteur paye à sa banque la somme de
$i = \tau E$ (intérêt) où $E$ est la somme qu'il lui reste à
rembourser sur son emprunt. L'intérêt représente le coût de
l'emprunt, et ne sert pas à rembourser l'emprunt~: le remboursement
annuel $r$ s'ajoute à $i$ pour former ce que l'on appelle l'annuité $a$.

Un usager a décidé d'emprunter la somme $S$, et de la rembourser par
la méthode dite des intérêts composés sur $N$ ans. Il va verser à sa banque
chaque année pendant $N$ ans la même annuité $a$.

\qst{} Calculer l'annuité en fonction de $S$, $\tau$ et $N$.

\qst{} Calculer le coût de l'emprunt.

\

La banque voudrait passer de remboursements annuels à des
remboursements mesuels. Pour cela, elle propose de remplacer le taux
d'intérêt annuel $\tau$ par le taux mensuel $\tau'$ donné
par la formule $(1+\tau')^{12} = 1+\tau$.

\qst{}\label{arnaud_cheritat_interets_label_1} D'où sort cette formule~?

\qst{} Cela augmente-t-il ou diminue-t-il le coût des intérêts composés~?

\end{exo}
