\Annee{2002}
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Le Roux}}
\Titre{Introduction \`a l'\'etude des suites de nombres}

\Date{2004/05/01}
\Niveau{\DEUGi}
\NiveauxSecondaires{\DEUGii}
\AnglePedagogique{\Decouverte} 
\AnglesSecondaires{\Experimental,\Technique}

\Theme{\Suites} 

\ThemesSecondaires{Limites}

\Objectif{
La premi\`ere partie, sous forme de quizz, a pour but de faire prendre
conscience aux \'etudiants de la na\"{\i}vet\'e de leur repr\'esentation
des suites. Dans le m\^eme temps, elle permet de constituer un petit
r\'eservoir d'exemples de suites un peu plus compliqu\'ees que les suites
monotones du Lyc\'ee. On esp\`ere qu'apr\`es cette \'etude, les \'etudiants sont
``psychologiquement pr\'epar\'es'' \`a accepter la n\'ecessit\'e d'une d\'efinition formelle
de la limite. On leur demande alors de retrouver quelques d\'efinitions
(ce texte s'adressait \`a des \'etudiants ayant d\'ej\`a eu un cours sur les
limites de fonctions, AVANT le cours sur les suites). Apr\`es quoi, 
on leur demande de d\'emontrer quelques r\'esultats tr\`es simples \`a partir
de la d\'efinition de la limite. On propose ensuite des exercices
plus d\'elicats.

Dans le bilan qui suit, on a essay\'e de leur expliquer quelques aspects
des preuves avec ``$\epsilon$''. En particulier, on d\'emonte la partie
purement m\'ecanique, afin d'isoler les endroits o\`u il y a besoin d'une
vraie r\'eflexion. Et on tente de leur expliquer bri\`evement quelques-uns
des pi\`eges concernant les variables de la d\'emonstration. Les preuves
propos\'ees par les \'etudiants sont souvent incorrectes, par manque de
ma\^{\i}trise du langage math\'ematique~; et il est en g\'en\'eral tr\`es difficile
de leur expliquer ``en direct'' o\`u se situe leurs erreurs de raisonnement.
 On esp\`ere pouvoir utiliser ce texte comme une r\'ef\'erence pour ce genre
de situation. Bien entendu, le texte est tr\`es incomplet et
n\'ecessiterait de nombreuses am\'eliorations...

Il faut compter une s\'eance de deux heures pour le Quizz, une autre
pour les premier exemples simples. On peut ensuite faire le bilan,
puis leur proposer \'eventuellement de s'attaquer aux exercices plus compliqu\'es.}

\begin{exo}

\bigskip

\emph{Dans tout le texte, les suites consid\'er\'ees sont toutes  \`a valeurs r\'eelles.}

\partie{Testez votre intuition}\label{par:intuition-suite}

\qst{Dessins}
Dessiner l'allure des suites $\left(\frac{1}{n}\right)$, $\left(\frac{1}{2^n}\right)$, $\left(-\frac{1}{n}\right)$,
$\left((-1)^n\right)$, $\left(\frac{(-1)^n}{n}\right)$,
$\left((-1)^n.n\right)$, $\left(n\sin^2\left(\frac{n\pi}{2}\right)\right)$.  

%\qst{Exemples}
%Donner...
%\begin{enumerate}
%\item ...un exemple de  suite \`a valeurs strictement positives qui
%tend vers $0$ ;
%\item ...un exemple de  suite \`a valeurs strictement n\'egatives qui
%tend vers $0$ ;
%\item ...un exemple de  suite  qui
%tend vers $0$ et qui prend une infinit\'e de valeurs n\'egatives ET une
%infinit\'e de valeurs positives.
%\end{enumerate}

\qst{Quizz}\label{qst:quizz-suites}
R\'epondre par VRAI ou FAUX (essayez de justifier vos r\'eponses par une preuve ou un contre-exemple\footnote{Pour 
les contre-exemples, on peut commencer par faire un dessin, avant d'essayer de trouver une formule explicite ou une
d\'efinition par r\'ecurrence.})~:

\sq\label{sq:suite-bornee} Si une suite est  born\'ee, alors elle admet une limite.

\sq  Si $(u_n)$ est une suite strictement positive et convergente,
alors $\lim(u_n) >0$.

\sq  Soit $(u_n)$ une suite qui tend vers $+\infty$. Alors cette suite
est croissante.
\sq\label{sq:suite-croissante}  Soit $(u_n)$ une suite qui
 tend vers $+\infty$. Alors cette suite
est croissante \`a partir d'un certain rang.
\sq Soit $(u_n)$ une suite \`a valeurs strictement positives et qui
tend vers $0$. Alors cette suite est d\'ecroissante \`a partir d'un
certain rang.

\sq Toute suite positive non born\'ee tend vers $+\infty$.

\sq Toute suite positive croissante tend vers $+\infty$.

\sq Toute suite positive croissante non born\'ee tend vers $+\infty$.

%\sq Tout nombre r\'eel est limite d'une suite de nombres rationnels.

\bigskip

\emph{Le but du ``quizz" ci-dessus \'etait de vous faire prendre consience du fait suivant : l'image mentale qu'on a d'une
``suite qui tend vers une limite $l$ (finie ou infinie)" est g\'en\'eralement trop simpliste. Dans de nombreux cas (suite qui
n'est pas monotone \`a partir d'un certain rang, par exemple), notre intuition devient trompeuse. C'est pour cette raison
qu'a \'et\'e introduite la d\'efinition  ``en $\varepsilon$"...}


\vspace{0.15cm}\centerline{\rule{4cm}{.4pt}}
%%%%%%%%%%%%
\partie{\`A propos des d\'efinitions ``en $\varepsilon$psilon''}

\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.8\textwidth}{
Pendant longtemps (jusqu'au XIX\`eme si\`ecle),
 les math\'ematiciens ont manipul\'e des suites et des
fonctions en se contentant de la d\'efinition intuitive de la
limite, sans rencontrer de probl\`eme particulier.
Puis, ils sont tomb\'es sur des propri\'et\'es  plus subtiles, o\`u l'intuition
  les a conduits \`a des contradictions. Ils ont
 alors commenc\'e \`a critiquer le manque de rigueur en Analyse (en
 comparant par exemple \`a d'autres domaines des math\'ematiques comme l'arithm\'etique),
 et ils ont ressenti le besoin de se donner des \textbf{d\'efinitions pr\'ecises}.

 Ceci n'a pas \'et\'e sans mal. En 1821, Cauchy (voir courte biographie \`a la fin de ce texte) propose  la d\'efinition
suivante~: ``\emph{Si les valeurs successivement attribu\'ees  \`a une variable s'approchent ind\'efiniment d'une valeur fixe, de
      mani\`ere \`a finir par en diff\'erer aussi peu que l'on voudra,
 alors cette derni\`ere est appel\'ee la limite de toutes les autres}''~;
 en 1835, De Morgan \'ecrit~:
 ``\emph{Laissez-moi rendre $x$ aussi petit que je veux, et je pourrai
 rendre $7+x$ aussi proche de $7$ que \emph{vous} voulez}''~;
 enfin, Weierstrass \'ecrit la d\'efinition moderne de la limite, avec les $\epsilon$s et les $\delta$s, entre 1840 et 1860. Une
des difficult\'es \'etait que les notions de variables et de fonctions n'\'etaient pas non plus clairement d\'efinies.

Ces d\'efinitions ont repr\'esent\'e \textbf{un progr\`es \'enorme}, puisqu'elles permettent de
savoir exactement de quoi on parle, et de distinguer avec certitude
 les propri\'et\'es vraies des propri\'et\'es fausses.

Mais il ne faut pas cacher que ces d\'efinitions ont aussi \textbf{un gros
d\'esavantage}~: elles sont difficiles \`a
comprendre, et surtout tr\`es difficiles \`a manipuler. Atteindre la
certitude a un prix~: il faut pour cela accepter de passer un certain
temps \`a se familiariser, progressivement, avec ces notions.

En particulier, les premiers exercices peuvent \^etre un peu
frustrants, puisqu'on a l'impression de se fatiguer beaucoup pour
d\'emontrer des  \'evidences. Il ne faut pas oublier que ce ne sont que
``des gammes'', et qu'il faut commencer par faire des gammes avant de
pouvoir jouer de la vraie musique...
}}
\end{center}

\textbf{Dans tous les exercices qui suivent, la r\`egle
du jeu est d'obtenir une r\'edaction la plus convainquante possible, en
utilisant chaque fois qu'il le faut la d\'efinition ``en $\epsilon$'' de
la limite.}

\vspace{0.15cm}\centerline{\rule{4cm}{.4pt}}

%%%%%%%%%%%%
\partie{Exercices simples avec le  formalisme en ``$\epsilon$''}

\qst{Pr\'eliminaires}
Donner la d\'efinition... 
\sq d'une suite~;
\sq de sa limite \'eventuelle\footnote{Si le cours n'a pas encore eu
lieu, inspirez-vous de la d\'efinition de la limite pour une fonction.}~;
\sq  d'une suite born\'ee~; d'une suite non born\'ee~;
\sq d'une suite croissante~;
\sq d'une suite croissante \`a partir d'un
certain rang.

\qst{Applications directes de la d\'efinition}
Montrer les propri\'et\'es suivantes~:
\sq La suite $(\sqrt n)$ tend vers $+\infty$.
\sq  Soit $(u_n)$ une suite qui tend vers $1$ ; alors cette suite est
strictement positive \`a partir d'un certain rang (traduire d'abord cette
phrase avec des quantificateurs).
\sq Si une suite admet une limite finie, alors elle est born\'ee.
\sq  Soit  $(u_n)$ une suite qui tend vers $0$. Alors
la suite $(u_{n+100})$ tend aussi vers $0$.
M\^eme chose pour  la suite $(u_{2n})$. {\textbf{Aide} pour
comprendre ce qu'est la suite $(u_{n+100})$~: prenez $u_n=1/n$,
\'ecrivez les premiers termes des suites $(u_{n+100})$, $(u_{2n})$, $(u_{n^2})$.}


\vspace{0.15cm}\centerline{\rule{4cm}{.4pt}}

%%%%%%%%%%%%%%
\partie{Exercices plus difficiles}

\qst{Suites de rang pair et impair}
Soit  $(u_n)$ une suite telle que les deux suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ tendent vers $0$. Montrer que la suite  
$(u_n)$ tend aussi vers $0$. 

\medskip

\noindent \emph{Remarque.} Si ce r\'esultat vous para\^{\i}t \'evident, alors vous trouverez s\^urement \'egalement
\'evident l'\'enonc\'e suivant : Soit $(u_n)$ une suite telle que les sous-suites $(u_{2n})$, $(u_{3n})$, $(u_{4n})$,
$(u_{5n})$, ... tendent toutes  vers $0$ ; alors la suite $(u_n)$ tend vers $0$.  Pourtant ce dernier \'enonc\'e est FAUX !
(pensez \`a la suite $(u_n)$ qui vaut $1$ si $n$ est un nombre premier, et $0$ sinon). Comme quoi, les
$\epsilon$ et les $\eta$ sont parfois utiles... 

\qst{Crit\`ere s\'equentiel de la continuit\'e}
Soit $f$ une fonction de $\bbR$ dans $\bbR$. Montrer que $f$ est
continue en $0$ si et seulement si elle v\'erifie le \emph{crit\`ere
s\'equentiel de la continuit\'e~: pour toute suite $(u_n)$ convergeant
vers $0$, la suite $f(u_n)$ converge vers $f(0)$.} 

\qst{}
 Soit $f$ une fonction continue de $\bbR$ dans $\bbR$ qui admet une
limite finie $l$ en $+\infty$. Quel est le comportement (en $+\infty$)
de  la suite $(v_n)$ d\'efinie par :
$$v_n=\int_n^{n+5}f(t)dt \ \ \ \ \   ?  $$ 

\noindent \emph{Indication :} essayer de deviner la valeur de cette int\'egrale quand $n$ est tr\`es grand
(\`a l'aide d'un dessin), puis r\'ediger une preuve. 

\medskip

\noindent \emph{Remarque.} 
Si le r\'esultat ci-dessus ne vous parait pas n\'ecessiter de preuve, alors la convergence de la suite 
$$w_n=\int_n^{2n} f(t) dt$$ devrait \'egalement vous para\^{\i}tre \'evidente. Pourtant, essayez avec
$f(t)=\frac{1}{t}$ ; bien que $f(t)$ tende vers $0$ quand $t$ tend vers $+\infty$, vous verrez que la 
suite $w_n$ ne tend pas vers $0$, mais vers $\ln(2)$. Mieux : si on prend $f(t)=\frac{\sin(\ln(t))}{t}$ (qui tend
\'egalement vers $0$ quand $t$ tend $+\infty$), on peut v\'erifier que la suite $w_n$ ne converge pas (il existe une
sous-suite de $w_n$ qui tend vers $-\ln(2)$, et une sous-suite qui tend vers $\ln(2)$) ! Encore un cas o\`u les 
$\epsilon$ et les $\eta$ \'evitent de dire des b\^etises !

\qst{Suites d'entiers}
Donner la d\'efinition d'une suite stationnaire. Montrer qu'une suite d'entiers qui tend vers une limite finie est 
stationnaire.

%%%%%%%
\qst{Extraction}
On appelle \emph{suite extraite de la suite $(u_n)$} (ou
\emph{sous-suite de $(u_n)$}) ``n'importe quelle suite obtenue \`a partir
de $(u_n)$ en oubliant certains termes''.

\sq Transformez cette d\'efinition vague en une vraie d\'efinition.

\sq Choisissez une suite $(u_n)$ born\'ee non convergente (voir le
quizz, question~\ref{par:intuition-suite}.\ref{qst:quizz-suites}.\ref{sq:suite-bornee}). Trouvez une
suite extraite de $(u_n)$ qui est convergente. Trouvez une autre
 suite extraite de $(u_n)$ qui  converge vers une autre limite.

\sq Soit $(u_n)$ une suite qui tend vers $+\infty$. Montrer qu'il
existe une suite extraite de $(u_n)$ qui est
croissante. (\textbf{Indication :} commencez par relire le
quizz, question~\ref{par:intuition-suite}.\ref{qst:quizz-suites}.\ref{sq:suite-croissante}~; 
faites un dessin  d'un
contre-exemple \`a cette affirmation du quizz~; sur le dessin, comment
extraire une suite croissante~? Puis construire la suite extraite, par
r\'ecurrence, dans le cas g\'en\'eral.) 


%%%%%%
\qst{Vers l'id\'ee de ``valeurs d'adh\'erence''...}
\sq Existe-t-il une suite qui prend une infinit\'e de fois les valeurs $1$
et $2$ ?

\sq Existe-t-il une suite qui prend une infinit\'e de fois les valeurs $1$
et $2$ et $3$ ?

\sq Existe-t-il une suite qui prend une infinit\'e de fois 
la valeur $1$, ET une infinit\'e de fois la valeur $2$, ... ET ainsi de suite
pour CHAQUE entier positif $k$ ?

\sq Existe-t-il une suite $(u_n)$ \`a valeurs dans l'intervalle $[0,1]$ telle que
: pour tout r\'eel $x$ entre $0$ et $1$, la  suite $(u_n)$ s'approche
arbitrairement pr\`es de $x$, et \`a un rang arbitrairement grand~?
 (Commencer par traduire cette propri\'et\'e avec des ``$\epsilon$'').

%%%%%
%\qst{}
%A-t-on $0,999...=1$~?





\partie{Bilan~: d\'eboulonnage des preuves en `` $\epsilon$''}

\emph{Pendant la premi\`ere s\'eance sur les suites, vous avez r\'epondu au
``Quizz''. Le but \'etait de voir que l'\'etude des suites est pleine de
pi\`eges, certaines suites ayant un comportement compliqu\'e. Cette
complexit\'e a conduit les math\'ematiciens \`a adopter la d\'efinition de la
limite d'une suite ``en
$\epsilon$''. Pendant la deuxi\`eme s\'eance, vous avez \'ecrit certaines
d\'efinitions, puis essay\'e de d\'emontrer quelques propri\'et\'es simples \`a
l'aide de ces d\'efinitions.
Ce bilan contient les preuves des propri\'et\'es de la question 2 (a, b et
d). Mais surtout, on a tent\'e d'expliquer en d\'etail comment ces preuves
sont construites, de les ``d\'eboulonner''...}




Nous allons essayer de  comprendre quelques aspects des ``preuves avec
epsilons'' sur des exemples de propri\'et\'es simples. Au lieu de nous
contenter de donner des preuves de ces propri\'et\'es, nous allons 
  plut\^ot tenter \emph{une explication
de la mani\`ere dont on parvient \`a \'ecrire ces preuves}.
Avant de commencer, rappelons la r\`egle du jeu~:
\emph{toutes les propri\'et\'es doivent \^etre d\'emontr\'ees en revenant \`a la
d\'efinition ``en $\epsilon$'', rien ne doit \^etre consid\'er\'e comme \'evident}.

\subsection*{Premier exemple}
Montrons que la suite $(\sqrt{n})$ tend vers $+\infty$.

Y a-t-il vraiment quelquechose \`a montrer~?! Et bien oui, puisque on
a convenu de ne rien consid\'erer comme \'evident en ce qui concerne
les suites. Pour savoir ce qu'il y a \`a montrer, on r\'e\'ecrit la
question en utilisant la d\'efinition de la limite~:

\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.8\textwidth}{
\`A montrer~: la suite $(\sqrt{n})$ tend vers $+\infty$, c'est-\`a-dire
$$
\forall M \in \bbR, \exists n_0 \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_0, \mbox{ on a } \sqrt{n} \geq M.
$$
}}
\end{center}

Le fait d'avoir \'ecrit cette phrase nous donne des renseignements sur
ce que l'on doit faire. Puisque cette phrase commence par 
``$\forall M \in \bbR$...'', la d\'emonstration devrait commencer par 
la phrase ``Soit $M$ un r\'eel quelconque.''
La suite de la phrase est ``$\exists n_0 \in \bbN \mbox{ tel que
}$...'',
ce qui signifie qu'on va devoir \emph{fournir} un entier $n_0$, qui
devra v\'erifier la fin de la phrase~: ``$\forall n
\geq n_0,\mbox{ on a } \sqrt{n} \geq M$''.
On a ainsi un squelette de r\'edaction~:

\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.8\textwidth}{
Soit $M$ un r\'eel quelconque. 

D\'efinissons un entier $n_0$ de la mani\`ere suivante~: 
$$???$$

V\'erifions que $\forall n \geq n_0, \mbox{ on a }\sqrt{n} \geq M$~:
$$???$$
}}
\end{center}

Il reste \`a remplir les trous, c'est-\`a-dire surtout \`a trouver
comment d\'efinir $n_0$.
En regardant la fin, et en cherchant un peu, on voit que \c{c}a
devrait marcher si $n_0^2 \geq M$. On v\'erifie, ce qui revient \`a
\'ecrire la fin de la preuve~:

\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{\textwidth}{
\`A montrer~: la suite $(\sqrt{n})$ tend vers $+\infty$, c'est-\`a-dire 
$$
\forall M \in \bbR, \exists n_0 \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_0, \mbox{ on a } \sqrt{n} \geq M.
$$
%\vspace{0.15cm}
\centerline{\rule{4cm}{.2pt}}

\underline{Soit $M$ un r\'eel quelconque}. 

\underline{D\'efinissons un entier $n_0$} de la mani\`ere suivante~:

On choisit un entier $n_0$ plus grand que $M^2$ (par exemple le
premier entier sup\'erieur \`a $M^2$).

\underline{V\'erifions que $\forall n \geq n_0, \mbox{ on a }\sqrt{n} \geq
M$}~:

Soit $n \geq n_0$. Puisque $n_0 \geq M^2$, on a $n \geq n_0 \geq M^2$.
Donc $\sqrt{n} \geq M$.
%
%On a donc montr\'e ce que l'on voulait~:
%$$
%\forall M \in \bbR, \exists n_0 \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
%\geq n_0, \mbox{ on a } \sqrt{n} \geq M.
%$$
%Autrement dit, la suite $\sqrt{n}$ tend vers $+\infty$.
}}
\end{center}

\paragraph{Commentaires}~
%On a commenc\'e par ``Soit $M$ un r\'eel quelconque''~; 
%on aurait aussi pu \'ecrire~:
%
%Fixons... Donnons-nous... Choisissons... Consid\'erons
%un r\'eel $M$ quelconque.

1) On a d\'ecoup\'e la phrase \`a montrer en trois morceaux :
$$
\underbrace{\forall M \in \bbR}, \underbrace{\exists n_0 \in \bbN} \mbox{ tel que } \underbrace{\forall n
\geq n_0, \mbox{ on a } \sqrt{n} \geq M}.
$$
Chaque morceau correspond \`a une phrase du ``squelette de preuve'',
soulign\'ee dans la d\'emonstration. 

2) On doit montrer qu'une propri\'et\'e est valable pour tout $M$, c'est
   pourquoi, dans la d\'emonstration, on commence par se donner un r\'eel
   $M$ \emph{quelconque}~: le mot ``quelconque'' sert \`a rappeler qu'on
   n'a pas le droit de supposer quoi que ce soit qui restreigne la
   valeur de $M$. Par exemple, la preuve ne peut pas commencer par
   ``Soit $M=100$'', ni par ``Soit $M$ un r\'eel n\'egatif'' (bien s\^ur, par
   la suite, on pourrait s\'eparer l'\'etude en diff\'erents cas, \`a condition
   que l'ensemble des cas \'etudi\'es couvre bien toutes les valeurs
   possibles de $M$).



%2)  Dans la phrase ``Soit $M$ un r\'eel quelconque'', le mot
% ``quelconque'' sert \`a rappeler 
% qu'\emph{on n'a pas le choix du r\'eel $M$}~: la preuve ne
%peut pas commencer par  ``Soit $M=100$'', ou toute autre formulation
%qui restreint les valeurs de $M$ consid\'er\'ees. Et le proc\'ed\'e qui fournit
% l'entier $n_0$ doit marcher pour toutes les valeurs possibles de
%$M$
%(il n'y a pas de valeur de $n_0$ qui marche pour tout $M$, mais la
%fa\c{c}on de choisir $n_0$ en fonction de $M$ marche pour tout $M$).



 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Deuxi\`eme exemple}
Montrons que si  $(u_n)$ est une suite qui tend vers $1$, alors cette suite est
strictement positive \`a partir d'un certain rang.

L\`a encore, on traduit l'hypoth\`ese et le but avec des quantificateurs~:

\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.8\textwidth}{
Hypoth\`ese~: $(u_n)$ est une suite qui tend vers $1$, c'est-\`a-dire
$$
\forall \epsilon>0, \exists n_0  \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_0, \mbox{ on a } 1-\epsilon < u_n < 1+\epsilon.
$$
\`A montrer~: $(u_n)$ est
strictement positive \`a partir d'un certain rang, c'est-\`a-dire
$$
 \exists n_0 \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_0, \mbox{ on a } u_n > 0.
$$
}}
\end{center}

 Cette fois-ci, la phrase \`a montrer commence par le quantificateur
 d'existence ($\exists n_0$); il va donc falloir fournir un entier $n_0$
 qui v\'erifie la propri\'et\'e voulue ($\forall n
\geq n_0, \mbox{ on a } u_n > 0$). Le squelette de la preuve devrait
 donc \^etre~:
\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.8\textwidth}{
D\'efinissons un entier $n_0$ de la mani\`ere suivante~: 
$$???$$
V\'erifions que $\forall n \geq n_0, \mbox{ on a } u_n>0$~:
$$???$$
}}
\end{center}
 D'autre part, l'hypoth\`ese commence par ``$\forall \epsilon>0, \exists
 n_0$''. Elle va donc nous fournir un entier $n_0$, \emph{\`a condition
 qu'on dise pour quelle valeur de $\epsilon$} on veut appliquer cette propri\'et\'e.

Il faut donc r\'efl\'echir un peu pour trouver une valeur int\'eressante de
$\epsilon$. La propri\'et\'e que l'hypoth\`ese va nous donner
est $ 1-\epsilon < u_n < 1+\epsilon$, celle que l'on voudrait obtenir
est $ u_n > 0$~: on voit que \c{c}a devrait marcher avec $\epsilon=1$.
 En effet, pour $\epsilon=1$, l'hypoth\`ese donne  $0 < u_n <2$, donc notamment $u_n
>0$ (l'autre in\'egalit\'e ne sert pas). On peut maintenant r\'ediger une
preuve.

\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{\textwidth}{
Hypoth\`ese~: $(u_n)$ est une suite qui tend vers $1$, c'est-\`a-dire
$$
\forall \epsilon>0, \exists n_0  \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_0, \mbox{ on a } 1-\epsilon < u_n < 1+\epsilon.
$$
\`A montrer~: $(u_n)$ est
strictement positive \`a partir d'un certain rang, c'est-\`a-dire 
$$
 \exists n_0 \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_0, \mbox{ on a } u_n > 0.
$$
%\vspace{0.15cm}
\centerline{\rule{4cm}{.2pt}}


\underline{D\'efinissons un entier $n_0$} de la mani\`ere suivante.
On applique l'hypoth\`ese avec  $\epsilon=1$. L'hypoth\`ese nous fournit
alors un entier $n_0$ tel que  $\forall n \geq n_0, \mbox{ on a } 0 < u_n < 2$.

\underline{V\'erifions que $\forall n \geq n_0, \mbox{ on a }
u_n>0$}~:
c'est clair~!
}}
\end{center}


\paragraph{Commentaires}~

1) La premi\`ere phase de la d\'emarche consiste \`a \'ecrire le ``squelette de
preuve'', en fonction de la propri\'et\'e \`a montrer.
Avec un peu d'habitude, cette premi\`ere phase devient (en partie)
m\'ecanique, automatique. Apr\`es quoi, on peut commencer \`a r\'eflechir
(on sait maintenant ce qu'on cherche)~: dans le premier exemple, il
fallait penser \`a choisir $n_0$ plus grand que $M^2$~; dans le
deuxi\`eme, il fallait penser \`a choisir $\epsilon=1$. Enfin, on peut
r\'ediger la preuve, et v\'erifier en m\^eme temps que le choix (de $n_0$)
convient. Si �a ne marche pas, on essaie de voir ce qui coince, et on
essaie un autre choix... Dans la r\'edaction finale, l'endroit o\`u l'on a
vraiment fait preuve de r\'eflexion se r\'eduit \`a une petite phrase~!
Mais il s'agit de l'endroit le plus difficile de la preuve, l\`a o\`u il
faut un peu d'imagination (quand on lit une preuve, ce sont les
endroits o\`u l'on se dit~: << Mais pourquoi fait-il \c{c}a~? Pourquoi
choisit-il $n_0$ plus grand que $M^2$ ? Pourquoi prendre $\epsilon=1$
et pas $\epsilon=1997$ ? >> Une r\'eponse est~: << L\`a, il a
r\'efl\'echi ! On devrait voir plus loin pourquoi �a marche.>>).
 Personne n'a trouv\'e de m\'ethode pour arriver \`a faire des
maths sans avoir \`a r\'efl\'echir...


2) Dans chacun des deux exemples, on a \'ecrit une d\'efinition de
   limite. Dans le premier cas,  c'\'etait une
   propri\'et\'e \emph{\`a montrer}. On a vu que ceci conduisait \`a
   consid\'erer un r\'eel $M$ quelconque, sur lequel on n'avait aucun
   choix. Au contraire, dans le second cas, une d\'efinition de limite 
   apparaissait dans l'hypoth\`ese, autrement dit  il s'agissait d'une propri\'et\'e \emph{\`a
   utiliser}. On l'a alors utilis\'ee en  choisissant une valeur de
   $\epsilon$ (ici $\epsilon=1$).
Retenons cette diff\'erence~: pour \emph{montrer} une phrase commen�ant
   par $\forall a...$, on se donne un $a$ \emph{quelconque}~; tandis
   que pour l'utiliser,  \emph{on peut choisir} le r\'eel $a$.


%\pagebreak

\subsection*{Troisi\`eme exemple}
Montrons la propri\'et\'e suivante~:
Soit  $(u_n)$ une suite telle que les deux suites $(u_{2n})$ et
$(u_{2n+1})$ tendent vers $0$~; alors la suite   
$(u_n)$ tend aussi vers $0$. 

%(Les \'etoiles (*) renvoient aux commentaires qui suivent la preuve).

\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{\textwidth}{
Hypoth\`eses~: les suites
$(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$  tendent vers $0$, c'est-\`a-dire
$$
\forall \epsilon>0, \exists n_0  \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_0, \mbox{ on a }   |u_{2n}| < \epsilon
$$
$$
\forall \epsilon>0, \exists n_0  \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_0, \mbox{ on a }   |u_{2n+1}| < \epsilon.
$$
\`A montrer~: la suite $(u_n)$ tend vers $0$, c'est-\`a-dire
$$
\forall \epsilon>0, \exists n_0  \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_0, \mbox{ on a }   |u_n| < \epsilon.
$$
\centerline{\rule{4cm}{.4pt}}
\underline{Soit $\epsilon$ un r\'eel strictement positif quelconque}.
On applique la premi\`ere hypoth\`ese avec ce m\^eme $\epsilon$~; ceci
nous fournit un entier que l'on note $n_1$, tel que $\forall n
\geq n_1, \mbox{ on a }   |u_{2n}| < \epsilon$ (appelons ceci la
propri\'et\'e P1). De m\^eme, en appliquant la 
deuxi\`eme hypoth\`ese, on obtient un entier $n_2$ tel que 
 $\forall n
\geq n_2, \mbox{ on a }   |u_{2n+1}| < \epsilon$ (propri\'et\'e P2).


\underline{D\'efinissons alors un entier $n_0$ de la mani\`ere
 suivante}~:
On choisit un entier $n_0$ plus grand que $2 n_1$ et $2 n_2+1$ (par
exemple, $n_0=\max(2n_1, 2n_2+1)$.


\underline{V\'erifions que $\forall n \geq n_0, \mbox{ on a } |u_n|
\leq \epsilon$}.

Soit $n \geq n_0$. On consid\`ere deux cas.

-- Ou bien $n$ est pair, et on \'ecrit $n=2n'$ (et donc $u_n=u_{2n'}$).
Alors $n=2n' \geq n_0 \geq 2n_1$, donc $n' \geq n_1$.
D'apr\`es la propri\'et\'e P1, on a alors
$$|u_n|=|u_{2n'}| < \epsilon.$$

-- Ou  bien $n$ est impair, et on \'ecrit $n=2n'+1$. On a $2n'+1 \geq
   n_0 \geq 2n_2+1$, donc $n' \geq n_2$.
   On voit gr\^ace \`a la propri\'et\'e P2 que
$$
|u_n| < \epsilon.
$$

Dans tous les cas, on a $|u_n| < \epsilon$, ce que l'on voulait.
}}
\end{center}


\paragraph{Commentaires}~

1)  Les entiers ``$n_0$''  fournis par les deux hypoth\`eses n'ont
    aucune raison d'\^etre \'egaux~: un entier $n_0$ qui marche pour
    la premi\`ere peut tr\`es bien ne pas marcher pour la deuxi\`eme.
 C'est pourquoi, dans la d\'emontration, on doit choisir deux
    notations diff\'erentes (ici, on a choisi $n_1$ et $n_2$).
Dans la preuve, on \emph{ne peut pas} \'ecrire~:
\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.8\textwidth}{
On applique les deux hypoth\`eses~; ceci
nous fournit un entier $n_0$ tel que  $\forall n
\geq n_0, \mbox{ on a }   |u_{2n}| < \epsilon \mbox{ et }|u_{2n+1}| < \epsilon$.
}}\end{center}

De m\^eme, l'entier $n_0$ qui appara\^{\i}t dans la phrase \`a montrer (celui
    que l'on cherche) est encore diff\'erent. Pour \^etre s\^ur de ne pas
    avoir de probl\`eme, on aurait pu choisir des notations diff\'erentes
    d\`es l'\'ecriture des hypoth\`eses et de la conclusion~:
\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.8\textwidth}{
Hypoth\`eses~: les suites
$(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$  tendent vers $0$, c'est-\`a-dire
$$
\forall \epsilon>0, \exists n_1  \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_1, \mbox{ on a }   |u_{2n}| < \epsilon
$$
$$
\forall \epsilon >0, \exists n_2  \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_2,  \mbox{ on a }   |u_{2n+1}| < \epsilon.
$$
\`A montrer~: la suite $(u_n)$ tend vers $0$, c'est-\`a-dire
$$
\forall \epsilon>0, \exists n_0  \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_0, \mbox{ on a }   |u_n| < \epsilon.
$$
}}
\end{center}
On aurait aussi pu changer les notations des ``$\epsilon$''~: apr\`es
tout, on ne sait pas \textit{a priori} qu'on va choisir les m\^emes
valeurs dans les deux hypoth\`eses. Nous reviendrons sur ces probl\`eme
dans l'annexe~1.

%On a utilis\'e des notations diff\'erentes dans les deux hypoth\`eses~:
% $\epsilon_0, \epsilon_1$ et
%   $n_0, n_1$. En effet, on ne sait pas \textit{a priori} si on va
% appliquer les deux hypoth\`eses avec le m\^eme choix de $\epsilon$. Et
% surtout, les entiers $n_0$ et $n_1$ qui nous sont donn\'es par ces
% hypoth\`eses n'ont aucune raison d'\^etre \'egaux~: dans la suite de la
% preuve, on doit vraiment les distinguer, on ne peut pas les appeler
% tous les deux $n_0$.

2) Comme dans les deux premiers exemples, il y a un passage difficile,
   l\`a o\`u on d\'efinit $n_0$. Comment a-t-on trouv\'e qu'il fallait d\'efinir
   $n_0$ de cette fa�on ``bizarre''~? \`A vrai dire, quand j'ai \'ecrit
   cette preuve au brouillon, je n'ai pas
   trouv\'e la bonne d\'efinition de $n_0$ du premier coup~!
   On sent bien qu'il faut
   fabriquer $n_0$ \`a l'aide de $n_1$ et $n_2$~; alors j'ai commenc\'e par
   essayer de choisir simplement
   $n_0$ plus grand que $n_1$ et $n_2$. Et puis  j'ai regard\'e si
   j'arrivais \`a \'ecrire la
   fin de la preuve, �a a coinc\'e, et j'ai vu ce qu'il fallait faire
   pour que �a ne coince plus  (en r\'ealit\'e, mon deuxi\`eme essai n'\'etait
   pas bon non plus, le cas o\`u $n$ est impair ne marchait pas; mais la troisi\`eme
   fois \'etait la bonne)...

3) La v\'erification finale est une petite d\'emonstration \`a l'int\'erieur
de la grande
(``V\'erifions que $\forall n \geq n_0, \mbox{ on a } |u_n|
\leq \epsilon$''). On lui applique les m\^emes principes~: en
particulier, ce qu'on doit d\'emontrer commence par ``$\forall n \geq
n_0$''; par quelle phrase commence la petite d\'emonstration~?...
Pour une preuve plus longue, on peut avoir de cette
mani\`ere plusieurs morceaux de d\'emonstrations imbriqu\'es les uns dans
les autres, comme des poup\'ees Russes.








\subsection*{Avant de conclure, quelques mots sur les variables}
Dans les phrases \`a montrer, on \'ecrit~:
$$\forall M \in \bbR $$ 
Dans la d\'emonstration, on \'ecrit~:

\centerline{Soit $M$ un r\'eel quelconque.}
\noindent  Y a-t-il une diff\'erence profonde entre ces deux \'ecritures~? Apr\`es
tout, elles semblent dire exactement la m\^eme chose...

Il y a bien une diff\'erence, et elle concerne ce qu'on pourrait appeler
la ``dur\'ee de vie d'une variable''. Revenons sur le premier exemple.
Apr\`es qu'on ait \'ecrit ``Soit $M$
un r\'eel quelconque'', on va utiliser la variable $M$ pendant toute la
d\'emonstration~: le ``$M$'' que l'on d\'efinit est le m\^eme que celui qui
appara\^{\i}t \`a la derni\`ere ligne de la preuve.
Par contre, quand on a \'ecrit la d\'efinition de la
limite,
$$
\forall M \in \bbR, \exists n_0 \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_0, \mbox{ on a } \sqrt{n} \geq M
$$
la variable $M$ a une dur\'ee de vie tr\`es courte, elle n'existe que dans
cette petite phrase. De m\^eme, regardons les hypoth\`eses du
troisi\`eme exemple~:
\begin{center}
\noindent
\framebox{
\parbox{0.8\textwidth}{
$$
\forall \epsilon>0, \exists n_0  \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_0, \mbox{ on a }   |u_{2n}| < \epsilon
$$
$$
\forall \epsilon>0, \exists n_0  \in \bbN \mbox{ tel que } \forall n
\geq n_0, \mbox{ on a }   |u_{2n+1}| < \epsilon.
$$
}}
\end{center}
Ces deux phrases sont ind\'ependantes, et chacune des variables n'existe
que dans sa propre phrase. En particulier, le ``$n_0$'' dans la
premi\`ere \emph{n'a rien \`a voir} avec celui de la deuxi\`eme (voir \`a ce
sujet le commentaire suivant ce troisi\`eme exemple).
On dit que les variables $\epsilon$, $n_0$ et $n$ de chaque phrase  sont
``li\'ees'' \`a la phrase (on dit aussi que ce sont des variables
``muettes'').

Revenons sur le troisi\`eme exemple. La variable $\epsilon$ existe \`a partir
de l'endroit o\`u elle est d\'efinie (au tout d\'ebut, ``Soit
$\epsilon$...''). La variable $n_0$ appara\^{\i}t un peu plus loin
(``D\'efinissons alors un entier $n_0$...''). Ces deux variables existent jusqu'\`a la fin de la
preuve. Le cas de la variable $n$ est plus int\'eressant. En effet,
elle appara\^{\i}t une premi\`ere fois \`a la deuxi\`eme ligne, et elle
``meurt'' presque imm\'ediatement (c'est la propri\'et\'e P1~: ``$\forall n
\geq n_1, \mbox{ on a }   |u_{2n}| < \epsilon$''). Elle fait \`a nouveau
une courte apparition \`a la ligne suivante (propri\'et\'e P2~: ``$\forall n
\geq n_2, \mbox{ on a }   |u_{2n+1}| < \epsilon$''). Enfin, elle renait une
derni\`ere fois pour la fin de la preuve (\`a partir de ``Soit $n \geq
n_2$''). Il est tr\`es important de comprendre que ces trois ``$n$''
sont compl\`etement ind\'ependants. Bien qu'on ait utilis\'e la m\^eme
notation, \emph{il faut consid\'erer que ce sont trois variables
distinctes}. On aurait d'ailleurs pu choisir trois notations
diff\'erentes, comme $n$, $n'$ et $n''$
(mais la lecture aurait \'et\'e moins agr\'eable, surtout que la notation
$n'$ est encore utilis\'ee plus bas \`a  deux endroits, qu'on aurait
d\^u transformer  en $n'''$ et $n''''$~!).

%la  variable $n$ encore plus tard (``Soit $n
%\geq n_2$...''). Toutes  Le cas de la variable $n'$ est plus int\'eressant~: en effet, le
%``$n'$'' qui appara\^{\i}t dans l'\'etude du cas o\`u $n$ est pair n'est
%pas le m\^eme que celui du cas impair. Autrement dit, cette variable
%nait et meurt deux fois au cours de la preuve. Attention, les
%``morts'' des variables ne sont jamais signal\'ees~: on aurait pu
%utiliser $n''$ dans le cas impair, pour bien montrer que cette
%variable n'est pas la m\^eme que dans le cas pair...

Pour ne pas s'embrouiller, il est fortement
recommand\'e d'annoncer la naissance de toutes les variables par une
expression du type
``Soit $M$ un r\'eel quelconque'', ``Consid\'erons un entier $n \geq
n_2$'',
``On se donne une droite $D$ du plan''... 
La seule exception concerne les phrases avec quantificateurs, dans
lesquelles les variables meurent toutes \`a la fin de la phrase.

Le statut des variables dans le langage math\'ematiques est compliqu\'e,
il faudrait plus de place pour aborder tous ses pi\`eges. Je vous
recommande fortement la lecture d'un texte de Fr\'ed\'eric Pham, \emph{``\c{C}a
d\'epend''}. Ce texte est disponible sur le Web~:

http://math1.unice.fr/~fpham/dep.pdf

Il fait aussi partie du livre \emph{Fonctions d'une ou deux
variables}, aux \'editions Dunod.




%plus variables locales et globales. Analogie informatique. cf $n$ est presque partout locale
%(muette), sauf \`a la fin des preuves. Diff\'erence ``$\forall n$'' ($n$ reste
%muette, elle n'a pas d'existence en dehors du petit morceau de phrase
%qui suit),
%et ``Soit $n \in \bbN$'' (on a d\'efini un $n$ valable globalement, $n$
%va exister dans tout un paragraphe, voir dans toute la fin de la
%preuve; la ``mort'' de la variable $n$ est en g\'en\'eral implicite~: cf
%la variable $n'$ \`a la fin de la preuve pcdte, qui vit et meurt deux fois.).
%
%cf on applique (P1) \`a $n'$ et non pas $n$; ...
%
%Conclusion~: soyez de bons citoyens, d\'eclarez vos variables~!



\subsection*{Conclusion}
Les d\'emonstrations concernant les limites sont pleines de
pi\`eges. Certain de ces pi\`eges peuvent \^etre \'evit\'es en suivant la
m\'ethode propos\'ee, notamment~:
\textbf{
\begin{itemize}
\item \'ecrire les phrases avec quantificateurs correspondant aux
hypoth\`eses et \`a la conclusion~;
\item \'ecrire toutes les phrases (en fran�ais) correspondant au
``squelette'' de la d\'emonstration~;
\item \`a chaque fois qu'une variable appara\^{\i}t dans la preuve, 
\begin{itemize}
\item ou bien  elle a \'et\'e introduite par l'un des deux quantificateurs
``$\forall$'' et ``$\exists$'', et dans ce cas la variable est
``muette'', elle dispara\^{\i}t \`a la fin de la phrase~;
\item ou bien elle a \'et\'e introduite par une expression du type
``Soit $M$...'', ``Consid\'erons un r\'eel $M$...''.
\end{itemize}
\end{itemize}
}
Bien s\^ur, cette m\'ethode est assez lourde. Vous remarquerez qu'elle
est rarement totalement appliqu\'ee, m\^eme dans les livres.
De plus, il ne suffit pas de savoir utiliser la m\'ethode pour r\'esoudre
un exercice~: comme on l'a remarqu\'e, rien ne peut remplacer la
r\'eflexion. Mais la m\'ethode permet de cerner clairement ce qu'il y a \`a
trouver. 

\textbf{Conseil~:} tant que vous n'\^etes pas absolument s\^ur de ne
pas faire d'erreurs, appliquez la m\'ethode au pied de la lettre.
 Le principe
est toujours~: on peut se permettre de ne pas \'ecrire certains d\'etails,
\`a condition d'\^etre capable de les \'ecrire.

Quelle est la port\'ee de cette m\'ethode~?
 La m\'ethode ne s'applique pas \`a toutes les preuves. Par exemple,
   montrons que la suite $(\frac{1}{\sqrt{n}})$ tend vers $0$. On a
   d\'ej\`a montr\'e que la suite $(\sqrt{n})$ tend vers $+\infty$. On
   peut appliquer  le
   th\'eor\`eme du cours qui dit que si une suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$,
   alors la suite $\frac{1}{u_n}$ tend vers $0$, et c'est fini.
Autrement dit, la m\'ethode n'est pas tr\`es pertinente quand la preuve
 consiste principalement \`a appliquer un th\'eor\`eme. Avant de revenir \`a
 la d\'efinition ``en $\epsilon$'' (et d'appliquer la m\'ethode), il faut
 se demander si  il n'y a pas un argument plus simple.





\small
\paragraph{Exercice d'assimilation}
Pour bien assimiler les m\'ecanismes que nous venons de voir, il faut
les d\'emonter en \'etudiant le plus possible d'exemples.

Prendre un cours sur les limites des suites ou des fonctions.
Choisir une propri\'et\'e d\'emontr\'ee dans le cours,
o\`u on utilise une d\'efinition de la limite (par exemple, 
la propri\'et\'e de somme des limites~: si deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$
convergent respectivement vers $x$ et $y$, alors la suite $(x_n+y_n)$
converge vers $x+y$). 
Le but de l'exercice est de r\'e\'ecrire la preuve en faisant
appara\^{\i}tre sa structure, son squelette.

%\setcounter{sq}{0}
\sq L'hypoth\`ese et la conclusion ne sont peut-\^etre pas \'ecrites avec des
quantificateurs~: dans ce cas,  \'ecrivez-les.

\sq Rep\'erer le squelette de la preuve, par
exemple en soulignant les phrases-cl\'es comme dans les r\'edactions des
deux exemples que l'on vient de voir. Comme plus haut, chaque morceau de la phrase \`a
d\'emontrer doit avoir une contrepartie dans la preuve~: le ``$\forall
\epsilon >0$'' doit correspondre \`a quelquechose comme ``Soit $\epsilon >0$'';
si un morceau dit ``$\exists n_0$'', on doit retrouver dans la preuve
un endroit o\`u on d\'efinit un $n_0$...
Les phrases-cl\'es sont parfois absentes. Elles sont alors implicites~:
rep\'erer l'endroit o\`u il faudrait les rajouter.

\sq Rep\'erer aussi les endroits o\`u il
a fallu r\'efl\'echir. 

\sq D\'etecter les propri\'et\'es utilis\'ees, par exemple les
hypoth\`eses. Si on a utilis\'e une hypoth\`ese qui commence par ``$\forall
\epsilon...$'', \`a   quelle(s) valeur(s) de $\epsilon$ l'a-t-on appliqu\'ee~?  

\sq Rep\'erer enfin les endroits o\`u les variables ``naissent et
meurent'' (pour chaque variable, on peut faire un trait dans la marge
qui va de l'endroit o\`u elle appara\^{\i}t jusqu'\`a l'endroit o\`u elle
dispara\^{\i}t). Y a-t-il des variables distinctes qui sont not\'ees de
la m\^eme fa�on~?

\bigskip

 Refaire l'exercice avec d'autres exemples, des plus simples aux
plus compliqu\'es.

\normalsize

\partie{Quelques rep\`eres historiques pour finir.}



 \textbf{Augustin-Louis Cauchy} (Paris 1789 - Sceaux 1857)
est un  des math\'ematiciens dont les 
contributions ont le plus fait progresser les math\'ematiques. Son
``Cours d'Analyse" est un des textes fondateurs de l'analyse
moderne. Cauchy y propose les premi\`eres \'ebauches des d\'efinitions
modernes des notions de
\emph{fonction}, de \emph{limite}, de \emph{continuit\'e}, etc. Cauchy
est aussi consid\'er\'e comme le fondateur de l'\emph{analyse
complexe}. Il contribua
\'egalement de mani\`ere fondamentale \`a l'\'etude d'objets aussi
divers que les \emph{\'equations diff\'erentielles}, les 
\emph{permutations d'ensembles finis}, les \emph{poly\`edres},
etc. Il fut professeur au Coll\`ege de 
France, \`a la Sorbonne et \`a l'\'Ecole polytechnique, mais les
\'ev\`enements politiques (r\'evolution de Juillet en 1830, coup
d'\'Etat de Napol\'eon III en 1852) l'oblig\`erent n\'eanmoins \`a
s'exiler \`a plusieurs reprises, pendant de
longues p\'eriode (en Italie notamment).
 Avant de se consacrer aux math\'ematiques, Cauchy
fut ing\'enieur des Ponts et Chauss\'es et dirigea la construction du
port de Cherbourg (\`a 21 ans...).

\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{Cauchy_4.ps}
\end{center}

\medskip

\noindent \textbf{Augustus De Morgan} (Madras 1806 - Londres 1871) est
surtout connu pour avoir formalis\'e et 
clarifi\'e la notion de \emph{raisonnement par r\'ecurrence}.

\medskip

\noindent \textbf{Karl Theodor Wilhelm Weierstrass} (Ostenfelde 1815 -
Berlin 1897) commen\c ca sa 
carri\`ere comme instituteur, avant de devenir un des tr\`es grand
math\'ematiciens du XIXeme si\`ecle. Ses travaux poursuivent l'effort
de rigueur initi\'e par Cauchy.
. Ainsi, c'est Weierstrass qui
(s'appuyant sur les travaux de Cauchy) propose ce qui constitue les
d\'efinitions modernes de \emph{limite d'un suite}, ou de
\emph{continuit\'e d'une fonction}. Ce sont \'egalement les travaux de
Weierstrass qui pr\'eciseront aussi le statut des nombres
irrationnels, notion encore vague depuis la d\'ecouverte de ces
derniers par les Pythagoriciens (disciples de Pythagore). Enfin, l'\oe
uvre majeure de Weierstrass est certainement le d\'eveloppement de la
th\'eorie des \emph{fonctions analytiques} ou
\emph{fonctions d\'eveloppables en s\'eries enti\`eres} : une fonction
est d\'eveloppable en s\'erie enti\`ere si elle est limite 
(en un sens \`a pr\'eciser)  de ses
d\'eveloppements de Taylor \`a l'ordre $n$.

\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{Weierstrass.ps}
\end{center}

\end{exo}



















