\Annee{2001}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}
\Date{2001/09/01}
\Titre{Moindres carr\'es.}
\Theme{\AlgLin}
\Niveau{\DEUGii}
\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert}
\etiquette{moindres_carres}

\Objectif{Faire retrouver \`a l'\'etudiant la m\'ethode des moindres carr\'es sur un exemple.}

\begin{exo}

Consid\'erons le syst\`eme $$(S)\sys{x_1+x_2&=&3\\-2x_1+3x_2&=&1\\2x_1-x_2&=&2}$$

\sq Montrer que ce syst\`eme n'a pas de solution

Ce syst\`eme s'\'ecrit aussi $A.X=b$ avec $A=\Mx{1&1\\-2&3\\2&-1}$, $X=\vect{x_1\\x_2}$
 et $b=\vect{3\\1\\2}$.
On cherche alors \`a trouver la meilleure solution approch\'ee,
c'est \`a dire $X_0$ tel que $||A.X_0-b||^2$ soit minimal
(o\`u ||.|| est la norme euclidienne de $\bbR^3$).


\sq D\'emontrer que $X_0$ r\'ealise le minimum de la fonction $||A.X-b||^2$
si et seulement si $A.X_0-b$ est orthogonal \`a $\Im A$.

\sq Trouver la meilleure solution approch\'ee du syst\`eme $(S)$.

\sq Pour un syst\`eme $A.X=b$ quelconque, donner un syst\`eme d'\'equations
dont les solutions sont les meilleures solutions approch\'ees du syst\`eme original.

Cette m\'ethode pour trouver une solution approch\'ee s'appelle la m\'ethode des moindres carr\'es.
Elle est tr\`es utilis\'ee en sciences exp\'erimentales, par exemple pour trouver
des coefficients d'une application affine passant le plus pr\`es possible de valeurs exp\'erimentales.

\sq Etant donn\'es une s\'erie de points exp\'erimentaux $(x_n,y_n)$, on cherche la fonction affine
$y=ax+b$ qui approxime le mieux les points exp\'erimentaux.
D\'eterminer un syst\`eme d'\'equations dont les solutions sont les coefficients $a$ et $b$
de la fonction affine cherch\'ee.

\end{exo}

