\Annee{2001}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}
\Date{2001/09/01}
\Titre{Matrice d'inertie d'un solide}
\Theme{\AlgLin}
\Niveau{\DEUGii}
\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert}
\etiquette{matrice_d_inertie}

\Objectif{Faire remarquer que la matrice d'inertie utilis\'ee en m\'ecanique du solide
est une forme quadratique. L'exitence de sym\'etries du solide se traduit par des conditions
sur la matrice d'inertie. C'est une application concr\`ete de la formule du changement de bases.}

\begin{exo}
 Soit $S$ un solide et $O$ une origine (par exemple, mais pas forc\'ement, son centre de gravit\'e). 
Lorsqu'on fait tourner $S$ le long d'un axe $d$ passant par $O$ 
avec une vitesse angulaire $\vec \omega$, 
la vitesse instantan\'ee d'un point $M$ du solide est donn\'ee
par $\vec{\omega}\wedge\vec{OM}$.
Son \'energie cin\'etique est donc donn\'ee par
$$E_c(\vec\omega)=\iiint_S \frac12 (\vec\omega\wedge\vec{OM})^2 dm$$
o\`u $dm$ repr\'esente l'\'el\'ement de masse.


\sq D\'emontrer que l'origine \'etant fix\'ee, 
$E_c$ est une forme quadratique en $\vec \omega$.
Sa matrice dans une base donn\'ee s'appelle la matrice d'inertie de $S$.

\emph{Remarque.} Par d\'efinition, les axes principaux sont des axes de diagonalisation simultan\'ee
de la forme quadratique d'inertie et du produit scalaire.


\sq La matrice d'inertie d'un solide peut-elle etre \'egale \`a
$\Mx{1&2&3\\4&5&6\\7&8&9}$ ?

\sq La matrice d'inertie d'un solide peut-elle etre \'egale \`a
$\Mx{1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1}$ ?

\sq Comment se transforme la matrice d'inertie d'un solide lorsqu'on
transforme le solide $S$ en son sym\'etrique par rapport au plan $(xOy)$ ?

\sq Calculer (en utilisant les sym\'etries pour r\'eduire les calculs)
la matrice d'inertie du parall\'el\'epip\`ede
$\{(x,y,z)|-a\leq x\leq a,-b\leq y\leq b, -c\leq z\leq c\}$.

\end{exo}
