\Annee{2001}
\nocopyleft
\Auteur{Fr\'ed\'eric \textsc{Pham}}
\AutresAuteurs{Herv\'e \textsc{Dillinger}}
\Date{2001/09/01}
\Titre{Exercice g\'eom\'etrique sur le noyau.}
\Theme{\AlgLin}
\Niveau{\DEUGi}
\AnglePedagogique{\Visualisation}


\Objectif{Trouver des relations de d\'ependance lin\'eaire entre des vecteurs donn\'es 
g\'eom\'etriquement. Voir que l'image d'une base d\'etermine le noyau.

Cet exercice est tir\'e de l'excellent ouvrage \textit{Alg\`ebre Lin\'eaire} de F.~Pham et H.~Dillinger 
(Biblioth\`eque des sciences, Diderot \'Editeur).}


\begin{exo}
 Soit $E$ un espace vectoriel de dimension 3, et soit 
$(e_1,e_2,e_3)$ une base de $E$. Les figures (i) et (ii)
repr\'esentent les vecteurs $(e'_1,e'_2,e'_3)$ images par $f$
d'une base $(e_1,e_2,e_3)$ de $E$. Dans chacun des deux cas,
d\'eterminer l'ensemble de tous les vecteurs de $E$ dont l'image par $f$ est nulle.
\begin{center}
\psset{unit=0.5cm,arrowscale=2}
\hfill
\pspicture(-1.5,-2.5)(6.5,4.5)
\SpecialCoor
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0cm,gridcolor=gray](-1,-2)(6,4)
\psline{*->}(0,0)(2,2)
\psline{*->}(0,0)(4,2)
\psline{*->}(0,0)(2,-1)
\uput{.3}[0](2,-1){$e'_1$}
\uput{.3}[45](4,2){$e'_3$}
\uput{.3}[135](2,2){$e'_2$}
\endpspicture
\hfill
\pspicture(-3.5,-3.5)(5.5,3.5)
\SpecialCoor
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0cm,gridcolor=gray](-3,-3)(5,3)
\psline{*->}(0,0)(-2,-1)
\psline{*->}(0,0)(2,1)
\psline{*->}(0,0)(4,2)
\uput{.3}[-60](-2,-1){$e'_3$}
\uput{.3}[120](2,1){$e'_1$}
\uput{.3}[-60](4,2){$e'_2$}
\endpspicture
\hfill  
\end{center}

\end{exo}
