\Annee{2002}

\Titre{Ordonner les nombres complexes}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}


\Date{2002/12/05} % Format AAAA/MM/JJ. pour le 5 mars 2001: \Date{2001/03/05}

\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...


\NiveauxSecondaires{} %Eventuellement, les niveaux secondaires separes par des virgules 

\AnglePedagogique{\Metamath} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...

\AnglesSecondaires{} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\Ensembles} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...
\ThemesSecondaires{Relations d'ordre}


\Objectif{Il s'agit ici de faire comprendre aux \'etudiants pourquoi \emph{on n'a pas le droit}
de comparer deux nombres complexes. Il faut sans doute s'attendre \`a ce que certains pensent qu'il n'existe
pas d'ordre total sur $\bbC$ du tout.} % Partie objectifs et commentaires.


\begin{exo}
Consid\'erons un ordre total $\prec$ sur $\bbC$.
Disons qu'un tel ordre est \emph{raisonnable} si on a les deux propri\'et\'es suivantes:
\begin{itemize}
\item si $a\prec b$, alors $a+c\prec b+c$
\item si $a\prec b$ et $c\succ 0$, alors $ac\prec bc$.
\end{itemize}
Le but de l'exercice est de d\'emontrer qu'il n'existe pas d'ordre raisonnable sur $\bbC$.

\sq Existe-t-il un ordre total sur $\bbC$~?

Supposons maintenant que $\prec$ soit un ordre raisonnable. On veut aboutir \`a une contradiction.

\sq D\'emontrer que si $x\succ 0$, alors $-x\prec 0$.

\sq D\'emontrer que si $x\succ 0$ alors $x^2 \succ 0$. 

\sq D\'emontrer que si $x\prec 0$ alors $x^2 \succ 0$. 

\sq D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes que $1\succ 0$, et en d\'eduire \`a la fois
que $-1\prec 0$, et $-1\succ 0$, ce qui est impossible.

\end{exo}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
