\Annee{2002}
\Titre{Parachutiste}
\Auteur{Laurent \textsc{Mazet}}
\Date{2002/12/04} % Format AAAA/MM/JJ. pour le 5 mars 2001: \Date{2001/03/05}

\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...

\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...

\AnglesSecondaires{} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\Equadifs} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...

\Objectif{Cet exercice montre une \'equation diff\'erentielle simple dans un cadre tr\`es concret.

Difficult\'e inattendue: en TD, un certain nombre d'\'etudiants ont 
\'et\'e g\'en\'es par le fait d'interpr\^eter $z'$ comme une vitesse:
comment une vitesse peut-elle \^etre n\'egative ?
Il est aussi assez peu satisfaisant de donner brutalement l'\'equation diff\'erentielle
(les \'etudiants ont besoin de se l'approprier),
sachant que demander aux \'etudiants de la retrouver demande forc\'ement du temps...
Un compromis pourrait \^etre de ne donner l'\'equation diff\'erentielle
\emph{qu'au signe pr\`es} (par exemple $mz''=\pm kz' \pm mg$)
et de laisser les \'etudiants trouver les bons signes.

Autre difficult\'e inattendue: on ne donne pas l'altitude initiale $z_0$. Peut-on quand m\^eme
trouver la distance parcourue ? Doit-on poser $z_0=0$ ?

Les valeurs num\'eriques ne sont sans doute qu'approximativement r\'ealistes.} % Partie objectifs et commentaires.

\begin{exo}
On souhaite \'etudier le saut d'un parachutiste. Un parachutiste de
masse $m$ en chute libre est soumis \`a la force de la pesanteur $mg$ et \`a une
force de frottement proportionnelle \`a la vitesse. On note $z(t)$
l'altitude du parachutiste en fonction du temps. $z(t)$ est alors
d\'ecrit par l'\'equation diff\'erentielle suivante: 

$$mz''=-kz'-mg$$
On utilisera les valeurs num\'eriques suivantes:
$g=10~\mathrm{ms}^{-2}$, $m=70~\mathrm{kg}$ et $k=7~\mathrm{kgs}^{-1}$. 
\begin{enumerate}

\item D\'eterminer la vitesse limite th\'eorique du
  parachutiste. Sachant que le parachutiste quitte l'avion \`a vitesse
  nulle, d\'eterminer le temps mis pour atteindre $90\%$ de cette
  vitesse limite ainsi que la distance parcourue pendant ce temps. M\^eme question avec
  $99\%$ de la vitesse limite.

\item Lorsque le parachutiste ouvre son parachute, le coefficient de
  frottement est multipli\'e par $20$. Il doit arriver au sol avec une
  vitesse inf\'erieure \`a $6~\mathrm{ms}^{-1}$. En supposant qu'il chute 
\`a
  la vitesse limite au moment de l'ouverture du parachute,
  d\'eterminer l'altitude maximale d'ouverture du parachute (le
  parachute met $2$ secondes \`a se d\'eployer).  
\end{enumerate}
\end{exo}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
