\Annee{2002}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}
\Date{2002/01/03}
%Faire un fichier par exercice. 
\Titre{Forme de Lorentz, loi relativiste de composition des vitesses, et paradoxe des jumeaux de Langevin}
\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi, \DEUGii, \Licence, ...
\NiveauxSecondaires{\DEUGphys} %Les niveaux secondaires separes par des virgules
\AnglePedagogique{\AQuoiCaSert} %l'angle pedagogique principale. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Recherche, ...
\AnglesSecondaires{} %Les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules
\Theme{\AlgLin} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...
\ThemesSecondaires{} %Themes secondaires separes par des virgules

\Objectif{Cet exercice permet de retrouver beaucoup de choses de la relativit\'e
restreinte \`a partir seulement de la forme de Lorentz.
Cela permet de montrer un autre aspect des formes quadratiques, parall\`ele \`a la
g\'eom\'etrie euclidienne. On y utilise un algorithme de Schmidt adapt\'e aux formes non positives.
Le paradoxe des jumeaux de Langevin est une sorte d'in\'egalit\'e triangulaire \`a l'envers
qui utilise des raisonnement similaires \`a ceux \'etablissant l'in\'egalit\'e
de Cauchy-Schwartz et le th\'eor\`eme d'inertie de Sylvester.
} 


\begin{exo}
%%%%%%%%commandes locales a l'exo: theoremes%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newenvironment{dfn*}{\begin{enonce1*}{D\'efinition.}}{\end{enonce1*}}
\newenvironment{postulat*}{\begin{enonce1*}{Postulat.}}{\end{enonce1*}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\partie{Les lignes de vie dans l'espace-temps.}

Pour donner rendez-vous \`a quelqu'un vous devez pr\'eciser
le lieu et l'heure. L'espace-temps est un mod\`ele de 
l'ensemble des points de rendez-vous possibles.

\begin{dfn*}
  L'espace-temps $E$ est un espace vectoriel de dimension $4$.
\end{dfn*}

On peut parfois utiliser des coordonn\'ees pour d\'ecrire un point
de l'espace-temps (c'est plus adapt\'e dans certaines villes que d'autres):
\emph{rendez-vous \`a 20h30 au croisement de la
10\ieme rue, 16\ieme avenue, 37\ieme \'etage}.
Pour parler de coordonn\'ees, il faut un r\'ef\'erentiel.

\begin{dfn*}
  Un \emph{r\'ef\'erentiel} de l'espace-temps $E$ est
une base $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ de $E$.\footnote{On peut imaginer d'autres types de
r\'ef\'erentiels: acc\'el\'er\'es ou en rotation mais ils ne rentrent pas dans le cadre de la
 relativit\'e restreinte. Par contre, il ne faut pas penser que ces r\'ef\'erentiels sont \emph{fixes}
les uns par rapport aux autres. Voir question \ref{MRU}}
\end{dfn*}

Par commodit\'e, on consid\`ere souvent un b\'eb\'e mod\`ele 
(on dit aussi \emph{toy model} en anglais)
o\`u l'espace-temps $E$ est de dimension $2$ (une dimension d'espace et une dimension de temps).
\\

\textit{Les questions qui suivent ne sont pas math\'ematiques \`a proprement parler mais sont 
plut\^ot des questions de mod\'elisation dont le but est d'aboutir \`a des
d\'efinitions math\'ematiques. Elles sont aussi un moyen de se familiariser avec cette
notion d'espace-temps.}

On suppose que l'espace-temps $E$ est muni d'un r\'ef\'erentiel $\calr_0=(e_1,e_2,e_3,e_4)$
 tel que les 3 premi\`eres
coordonn\'ees $x,y,z$ dans $\calr_0$ repr\'esentent les coordonn\'ees d'espace habituelles (dans une base orthonorm\'ee
fixe par rapport \`a la terre), et la quatri\`eme coordonn\'ee repr\'esente la date, c'est \`a dire le temps \'ecoul\'e depuis l'origine des temps qu'on a choisie.
On dit que $\calr_0$ un r\'ef\'erentiel fixe par rapport \`a la terre.

\qst{} 
Un train parcours en ligne droite et \`a vitesse constante le trajet Paris-Marseille
(on dit que le train est en mouvement rectiligne uniforme).
Dans un r\'ef\'erentiel fixe par rapport \`a la terre, faire un dessin
de l'ensemble des points de l'espace-temps occup\'es par le train,
autrement dit, la trajectoire du train dans l'espace-temps
(on pourra se placer dans le b\'eb\'e mod\`ele).
On appelle cet ensemble la \emph{ligne de vie} du train.

Dessiner sur le m\^eme graphique la ligne de vie de la gare de Marseille,
la ligne de vie de la gare de Paris, la ligne de vie d'un train partant au m\^eme moment
mais allant un peu plus vite, et la ligne de vie d'un train partant en sens contraire.
D\'eterminer g\'eom\'etriquement l'endroit et la date \`a laquelle deux de 
ces trains se rencontrent.

\qst{}\label{immobile}
On mod\'elise un mobile par sa ligne de vie (c'est \`a dire qu'on veut interpr\'eter toutes
les propri\'et\'es du mobile en termes de sa ligne de vie).
Donner une d\'efinition en terme de ligne de vie du fait qu'un mobile est immobile
dans le r\'ef\'erentiel $\calr_0$.

Cette notion d\'epend-t-elle du r\'ef\'erentiel choisi ?
 \footnote{Il appara\^\i t d\'ej\`a ici que tous
les r\'ef\'erentiels ne donneront pas une notion correcte d'espace et de temps (et d'immobilit\'e). Voir la deuxi\`eme partie.}


\qst{} Proposer une d\'efinition en terme de ligne de vie qui signifie qu'un mobile
est en mouvement rectiligne uniforme dans un r\'ef\'erentiel donn\'e.

Cette notion d\'epend-t-elle du r\'ef\'erentiel choisi ?

\qst{}\label{MRU}
 On dit qu'un r\'ef\'erentiel $\calr$ est en mouvement rectiligne uniforme 
par rapport \`a un r\'ef\'erentiel
$\calr'$ si tout mobile immobile dans $\calr$ est en mouvement rectiligne uniforme dans $\calr'$.
\footnote{ne pas perdre de vue que par d\'efinition, un r\'ef\'erentiel est une base de l'espace-temps $E$}
D\'emontrer que tous les r\'ef\'erentiels sont en mouvements rectilignes uniformes les uns par rapports aux autres.%
\footnote{Cela signifie en particulier que la relativit\'e restreinte 
ne traite pas les r\'ef\'erentiels acc\'el\'er\'es.
Voir la relativit\'e g\'en\'erale pour cela}

\partie{Forme de Lorentz}
La relativit\'e restreinte postule que l'espace-temps $E$ est muni d'une forme
quadratique $L$ appel\'ee \emph{forme de Lorentz}.
Dans certains r\'ef\'erentiels privil\'egi\'es 
(l'\'equivalent des bases orthonorm\'ees),
cette forme s'\'ecrit $L(\vec v)=x^2+y^2+z^2-c^2t^2$ 
o\`u les coordonn\'ees de $\vec v$
dans le r\'ef\'erentiel en question sont $\vect{x\\y\\z\\t}$,
et $c$ est la vitesse de la lumi\`ere ($3\times10^8\mathrm{m/s}$).
%\footnote{En relativit\'e, il est commode de choisir
%des unit\'es d'espace et de temps telles que $c$ soit \'egale \`a $1$. Par exemple,
%l'ann\'ee comme unit\'e de temps, et l'ann\'ee-lumi\`ere pour unit\'e d'espace.
%Ceci traduit le fait qu'espace et sont temps intimement li\'es. 
%Ainsi les vitesses deviennent des nombres sans unit\'e.
%On ne pose pas ici $c=1$ pour rester plus concret.}
\begin{dfn*}
  Un r\'ef\'erentiel $\calr=(e_1,e_2,e_3,e_4)$ est \emph{privil\'egi\'e} si
$L(xe_1+ye_2+ze_3+te_4)=x^2+y^2+z^2-c^2t^2$.
\end{dfn*}


De fait, les coordonn\'ees ne repr\'esentent fid\`element les notions d'espace et de temps
que si le r\'ef\'erentiel est privil\'egi\'e. Ces r\'ef\'erentiels privil\'egi\'es,
tous en mouvement rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres, sont souvent appel\'es
des r\'ef\'erentiels \emph{gallil\'eens}.
Le postulat de la relativit\'e restreinte est que c'est la forme de Lorentz qui
caract\'erise la g\'eom\'etrie de l'espace-temps, en d'autres termes, que les lois
de la physique s'exprimeront de la m\^eme mani\`ere dans tous les r\'ef\'erentiels
privil\'egi\'es.


\textbf{Note fondamentale.}
Tout cela signifie en particulier que si $A$ et $B$ sont deux points de l'espace temps $E$,
$L(\overrightarrow{AB})$ a une valeur ind\'ependante de tout r\'ef\'erentiel.
Si on change de r\'ef\'erentiel, les coordonn\'ees de $\overrightarrow{AB}$ changeront,
l'\'ecriture de $L$ en fonction des coordonn\'ees aussi, mais
$L(\overrightarrow{AB})$ ne changera pas.\footnote{De mani\`ere analogue, la longueur
d'une tige $AB$ ne d\'epend pas de la base de l'espace choisie, m\^eme si les coordonn\'ees
du vecteur $\overrightarrow{AB}$ et l'expression du produit scalaire en fonction des coordonn\'ees d\'ependent de la base\dots}
\\


\begin{dfn*}
  Soit $\calr$ un r\'ef\'erentiel privil\'egi\'e, et soient $A$ et $B$ deux points de l'espace-temps $E$
de coordonn\'ees $\vect{x_A\\y_A\\z_A\\t_A}$ et $\vect{x_B\\y_B\\z_B\\t_B}$ dans $\calr$.
On d\'efinit la \emph{distance} entre $A$ et $B$ dans $\calr$ par
$$d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}.$$
L'\emph{intervalle de temps} s\'eparant $A$ et $B$ dans $\calr$ est par d\'efinition $t_B-t_A$.
\end{dfn*}

\begin{postulat*}
  La relativit\'e restreinte postule que le temps et la distance mesur\'es (et ressentis) par un observateur
immobile dans le r\'ef\'erentiel $\calr$ entre deux \'ev\`enements $A$ et $B$
sont justement la distance et l'intervalle de temps dans $\calr$ comme d\'efinis au dessus.
\end{postulat*}

Dans le cadre du b\'eb\'e mod\`ele, on note en g\'en\'eral $x$ et $t$ les
coordonn\'ees dans un r\'ef\'erentiel privil\'egi\'e $(e_1,e_2)$, 
et dans un tel r\'ef\'erentiel, $L$ s'exprime sous la forme
 $L(\vect{x\\t})=x^2-c^2t^2$. La distance entre $A$ et $B$ est alors donn\'ee par 
$d(A,B)=\sqrt{x_B^2-x_A^2}=|x_B-x_A|$, et l'intervalle de temps les s\'eparant
est toujours $t_B-t_A$.


% \qst{} Existe-t-il un r\'ef\'erentiel dans lequel la forme de Lorentz s'\'ecrit
% $L(v)=x^2+y^2-z^2-t^2$ ? (Si oui laquelle, si non, pourquoi).

% \sq M\^eme question avec $L(v)=x^2+2xy+2yz+2zt-2t^2$.



\qst{} 
On pourra traiter cette question dans le cadre du b\'eb\'e mod\`ele.

\begin{dfn*}
  On dit qu'un vecteur $u$ est de type temps si $L(u)<0$,
de type espace si $L(u)>0$.
Si $L(u)=0$ on dit que $u$ est de type lumi\`ere.
 L'ensemble des vecteurs de type
lumi\`ere s'appelle le \emph{c\^one de lumi\`ere}.
\end{dfn*}

Dessiner les zones de $E$ qui correspondent \`a des vecteurs de type
espace, de type temps et de type lumi\`ere.
Le type d'un vecteur d\'epend-il du r\'ef\'erentiel ?

Les vecteurs directeurs des lignes de vies des trains consid\'er\'es plus t\^ot sont de quel type ?

Si $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ est un r\'ef\'erentiel privil\'egi\'e,
quels sont les types des quatres vecteurs $e_1,e_2,e_3,e_4$ ?

\qst{} Reprendre le dessin des lignes de vie des trains. 
On suppose que le r\'ef\'erentiel fixe par rapport \`a la terre
est privil\'egi\'e. Comment lit-on la vitesse $v$ du train sur le dessin ?
Donner une d\'efinition de la vitesse dans $\calr_0$ d'un mobile en mouvement rectiligne uniforme
en terme de sa ligne de vie.

La vitesse d\'epend-elle du r\'ef\'erentiel dans laquelle on la calcule ?


\qst{}\label{lumiere} On se replace dans l'espace-temps de dimension $4$.
Supposons qu'un mobile en mouvement rectiligne uniforme aille \`a la vitesse de la lumi\`ere
dans le r\'ef\'erentiel $\calr_0$ (en d'autres termes, $v=c$)
Comment cela se traduit-il en termes de sa ligne de vie ? 

Cette notion (le fait d'aller \`a la vitesse de la lumi\`ere) d\'epend-elle du r\'ef\'erentiel consid\'er\'e ?


\qst{} Soit $l$ la forme polaire de $L$.  Soit $\calr=(e_1,e_2,e_3,e_4)$ un r\'ef\'erentiel privil\'egi\'e, et $\vec u$
un vecteur de l'espace temps. Exprimer les coordonn\'ees de $\vec u$ dans $\calr$ en fonction de $l(u,e_i)$.


\qst{} Dans la suite, on se place \`a nouveau dans le b\'eb\'e mod\`ele.
Chercher quel est le r\'ef\'erentiel
privil\'egi\'e $\calr=(u_1,u_2)$ que consid\`ererait un observateur dans un train Paris-Marseille
se d\'eplacant \`a vitesse $v$ par rapport \`a la terre.
En d'autres termes, trouver un r\'ef\'erentiel privil\'egi\'e $\calr$
dans lequel le train est immobile (voir question I.\ref{immobile}).%
(\footnote{R\'eponse: on trouve $u_2=\gamma\vect{v\\1}$ 
et $u_1=\pm\gamma\vect{1\\ v/c^2}$ avec $\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$.})


\qst{} Soit $P$ et $P'$ les deux points de $E$ de coordonn\'ees $\vect{0\\0}$ et $\vect{0\\T}$ dans $\calr_0$
repr\'esentant la position dans l'espace-temps de la gare de Paris aux temps $t=0$ et $t=T$.
Calculer la distance et l'intervalle de temps s\'eparant $P$ et $P'$ dans $\calr_0$.

Calculer les coordonn\'ees de $P$ et $P'$ dans $\calr$ et en d\'eduire 
la distance et l'intervalle de temps s\'eparant $P$ et $P'$ dans $\calr$.

La distance entre deux points est elle ind\'ependante du r\'ef\'erentiel ?

\qst{} Quel est l'ensemble des points de $E$ simultan\'es \`a $\vect{0\\0}$ relativement \`a $\calr$ ?
Dessiner cet ensemble sur le dessin.
Le fait que deux \'ev\'enements soient simultan\'es d\'epend-il du r\'ef\'erentiel ?
(Si oui pr\'eciser pourquoi. Si non, donner un exemple).


\qst{Loi de composition des vitesses.}
On consid\`ere deux trains $T$ et $T'$ allant \`a des vitesses $v$ et $v'$
par rapport \`a la terre.
Soient $(u_1,u_2)$ et $(u'_1,u'_2)$ les r\'ef\'erentiels privil\'egi\'es 
fixes par rapport \`a ces deux trains.

Trouver les coordonn\'ees d'un vecteur directeur de la ligne de vie
du train $T'$ dans la base $(u_1,u_2)$.

En d\'eduire la vitesse du train $T'$ dans le r\'ef\'erentiel li\'e \`a $T$.
Cette formule pour la vitesse relative de deux mobiles s'appelle
la loi de composition des vitesses.

V\'erifier que lorsque $v$ et $v'$ sont petites devant $c$,
la vitesse obtenue est proche de $v-v'$.
%\footnote{On trouve une vitesse relative \'egale \`a $\frac{v'-v}{1-\frac{vv'}{c^2}}$.}



\partie{Le paradoxe des jumeaux de Langevin.}
On peut formuler le paradoxe de la fa\c con suivante.
Deux jumeaux (du m\^eme \^age !) sont \`a Paris. L'un des deux jumeaux, disons Albert, d\'ecide de faire
un aller-retour Paris-Marseille alors que l'autre, Isaac, reste \`a Paris.
Lorsqu'Albert et Isaac se retrouvent \`a Paris, Albert est devenu plus
jeune qu'Isaac. 

On veut d\'emontrer ce r\'esultat dans l'espace-temps de dimension $4$, pas dans le b\'eb\'e-mod\`ele.

\qst{} Faire un diagramme dans l'espace-temps de la situation (on suppose qu'Albert
 ne s'attarde pas \`a Marseille: d\`es qu'il est arriv\'e,
il saute dans un train qui fait le voyage retour).

\qst{Interpr\'etation de la forme de Lorentz comme \emph{temps propre}.}

\sq Supposons que deux points $A$ et $B$ de l'espace-temps correspondent
\`a un m\^eme endroit sur terre, mais \`a des dates diff\'erentes (pour un observateur sur terre).
Quel est la nature de $\overrightarrow{AB}$ (type temps/espace/lumi\`ere) ?
Quel est le lien entre $L(\overrightarrow{AB})$ et l'intervalle de temps qui s\'epare $A$ et $B$ ?

\sq
Supposons maintenant qu'un train (en mouvement rectiligne uniforme)
passe par deux points $A$ et $B$ de l'espace-temps. 
Du point de vue d'un voyageur du train, combien de temps faut-il  pour aller de $A$ \`a $B$ ?
(le calculer en fonction de $L(\overrightarrow{AB})$).
Le voyageur \'etant dans le train, il s'agit l\`a de l'intervalle de temps
dans un r\'ef\'erentiel $\calr$ li\'e au train (c'est \`a dire dans lequel le train est immobile). 
On dit que ce temps est le temps propre du voyageur. C'est le temps qu'il mesure et qu'il ressent.
\\



Pour la suite, on pourra admettre (ou pourquoi pas d\'emontrer !) que si $\vec u$ et $\vec v$
qui pointent tous les deux vers le futur dans un r\'ef\'erentiel donn\'es,
alors on a $l(u,v)<0$ (o\`u $l$ est la forme polaire de $L$).\footnote{pointer vers le futur dans un r\'ef\'erentiel privil\'egi\'e
signifie que la 4\`eme coordonn\'ee est positive.}

\qst{} Montrer que le paradoxe des jumeaux est \'equivalent \`a une sorte d'in\'egalit\'e
triangulaire \`a l'envers.
\footnote{$\sqrt{-L(\overrightarrow{AC})}\geq \sqrt{-L(\overrightarrow{AB})}+\sqrt{-L(\overrightarrow{BC})}$}.

\qst{Preuve du paradoxe, 1\`ere \'etape.}

D\'emontrer que si $\vec u$ et $\vec v$ satisfont $L(\vec u)<0$ et $L(\vec v)<0$,
il existe $t\in\bbR$ tel que $L(\vec u+t\vec v)\geq 0$. Quelle est l'hypoth\`ese cruciale
sur $L$ ?
\emph{Indication: consid\'erer le plan engendr\'e par $u$ et $v$, et faire
un raisonnement similaire \`a celui de la preuve du Th\'eor\`eme d'inertie de Sylvester.}

\qst{Preuve du paradoxe, 2\`eme \'etape.}

Consid\'erer un trin\^ome du second degr\'e comme dans la preuve de l'in\'egalit\'e de
Cauchy Schwartz pour d\'emontrer que $\sqrt{-L(u+v)}\geq \sqrt{-L(u)}+\sqrt{-L(v)}$
(quelles sont les hypoth\`eses sur $u$ et $v$ ?)
\footnote{On utilise le fait que $u,v,u+v$ sont des vecteurs de type temps et que $l(u,v)<0$}.

\qst{Quelques ordres de grandeur.}

Quelle erreur relative commet-on en utilisant la loi newtonnienne de composition des vitesses
($v''=v-v'$) lorsque $v$ et $v'$ sont de l'ordre de la vitesse du son ($v=3.10^2 \mathrm{m/s}=10^{-6}c$) ?\footnote{de l'ordre de $10^{-12}$}

Que vaut la diff\'erence d'\^age entre Albert et Isaac si Albert voyage \`a la vitesse du son
pendant un an (deux fois 6 mois). La pr\'ecision d'une horloge atomique est de l'ordre de $10^{-14}$ (secondes par secondes). 
Est-ce que cet \'ecart est d\'etectable avec une telle horloge atomique ?\footnote{On trouve 16$\mu$s. L'exp\'erience
a effectivement \'et\'e r\'ealis\'ee (sur une dur\'ee plus courte).} 

Consid\'erons un \'ev\`enement se produisant \`a un instant $t=0$ sur l'\'etoile la plus proche du soleil 
 (alpha du centaure \`a 4 ann\'ees-lumi\`ere dans le r\'ef\'erentiel de la terre).
Un observateur fixe par rapport \`a la terre et un observateur
allant \`a la vitesse $v=100km/h\simeq \times 10^{-7}c$ attribueront des dates diff\'erentes
\`a cet \'ev\`enement. De combien ces dates diff\`erent-elles ?
M\^eme question pour la galaxie la plus proche (le nuage de Magellan) qui se trouve 40,000 fois plus loin ?
\footnote{r\'eponse~: 12 secondes environ pour alpha proxima. 40,000 fois plus pour le nuage de magellan: 6 jours.}

\subsection*{Retour sur quelques r\'esultats importants.}
Ce probl\`eme a permis de mettre en \'evidence plusieurs choses.
\begin{itemize}
  \item
De m\^eme que la premi\`ere coordonn\'ee d'une tige (d'un vecteur)
dans un espace euclidien d\'epend de la base choisie (contrairement \`a sa longueur qui est bien
d\'efinie), l'intervalle de temps s\'eparant deux points $A$ et $B$ de l'espace-temps
va d\'ependre du r\'ef\'erentiel choisi: l'intervalle de temps n'est rien d'autre que
la 4\`eme coordonn\'ee du vecteur $\overrightarrow{AB}$. Il en est de m\^eme pour la distance
entre ces deux points. Par contre, alors que la premi\`ere coordonn\'ee d'une tige
n'a pas grande signification physique, 
l'intervalle de temps s\'eparant deux \'ev\`enements
 a un sens physique important (m\^eme s'il d\'epend du r\'ef\'erentiel choisi pour le mesurer).
On dit que la distance et le temps entre deux \'ev\`enements sont \emph{relatifs}, c'est \`a
dire qu'ils d\'ependent du r\'ef\'erentiel dans lequel on se place pour les observer.

\item Par contre \emph{tout} n'est pas relatif. En particulier, le fait d'aller \`a la vitesse
de la lumi\`ere ne d\'epend pas du r\'ef\'erentiel choisi. Historiquement,  cet absolu
l\`a (provenant des \'equations de Maxwell en electromagn\'etisme (1873) 
confirm\'ees par les exp\'eriences de Michelson-Morley en 1881-1887) 
a jou\'e un r\^ole important dans la construction de la relativit\'e. 

\item Les r\'esultats de la  relativit\'e sont parfois d\'eroutants.
Cependant, faut-il rappeler que la relativit\'e n'est pas une th\'eorie purement formelle ?
Pour que le GPS (Global Positionning System) fonctionne correctement, 
il est n\'ecessaire d'utiliser la relativit\'e g\'en\'erale.
En effet, le GPS est bas\'e sur un r\'eseau de satellites en orbite autour de la terre ayant
chacun \`a bord une horloge atomique. Le r\'ecepteur GPS recoit des signaux emis par
certains de ces satellites, mesure l'intervalle de temps s\'eparant leur
r\'eception, et en d\'eduit sa position dans l'espace temps (latitude, longitude, altitude et heure)
avec une pr\'ecision d'environ 15m=50ns. Mais les satellites se d\'eplacent 
\`a une vitesse de 14,000km/h, bien sup\'erieure \`a
la vitesse du r\'ecepteur GPS, provoquant un ralentissement apparent de l'horloge
embarqu\'ee.
Par contre, les satellites se situent \`a 20,000km d'altitude o\`u la pesanteur est
quatre fois moindre qu'\`a la surface de la terre, d'o\`u r\'esulte (d'apr\`es la relativit\'e
g\'en\'erale) une acc\'el\'eration apparente des horloges embarqu\'ees.
La combinaison de ces effets relativistes fait que les horloges embarqu\'ees se
d\'ecalent chaque jour par rapport au temps terrestre de 38 microsecondes.
Cette d\'eviation est \'enorme (pour le GPS)~: si on n'en tenait pas compte, 
des erreurs de navigations de l'ordre de 10km (=c$\times 38\mu$s) s'accumuleraient chaque jour.
\\
\end{itemize}

 Vous pouvez aller voir la Foire Aux Questions (en anglais) sur la relativit\'e \`a l'adresse suivante:
\texttt{http://www.weburbia.demon.co.uk/physics/relativity.html}.

\end{exo}