\Annee{2002}
\Titre{Passage au quotient pour une application}
\Auteur{Vincent \textsc{Guirardel}}

\Date{2002/12/05} % Format AAAA/MM/JJ. pour le 5 mars 2001: \Date{2001/03/05}

\Niveau{\DEUGi} %Le niveau principal. Typiquement: \DEUGi (=1ere annee), \DEUGii (=2eme annee), \Licence, ...

\AnglePedagogique{\Langage} %l'angle pedagogique principal. Typiquement: \AQuoiCaSert, \Experimental, ...

\AnglesSecondaires{} %Eventuellement, les angles pedagogiques secondaires separes par des virgules

\Theme{\Ensembles} %Theme principal. Typiquement: \AlgLin, \Suites, \Series, ...

\ThemesSecondaires{Relations d'equivalence} %Eventuellement, les themes secondaires separes par des virgules

\Objectif{Le but de l'exercice est d'introduire le passage au quotient d'une application dans la situation la plus
simple possible: la parit\'e dans $\bbZ$. Il est en particulier important de donner un exemple d'application qui ne passe PAS
au quotient (derni\`ere question).} % Partie objectifs et commentaires.


\begin{exo}


On d\'efinit une relation $\mathcal{R}$ sur l'ensemble $\mathbb{Z}$
des entiers relatifs par:
$$
\forall x,y \in \mathbb{Z} \;:\; x \mathcal{R} y \Leftrightarrow
x \text{~et~} y \text{~ont m\^eme parit\'e}$$
(autrement dit, ils sont tous deux pairs ou tous deux impairs).

\sq V\'erifier qu'il s'agit bien d'une relation d'\'equivalence. 

\sq On note $\overline{x}$ la classe d'\'equivalence de l'entier $x$ 
et $\overline{\mathbb{Z}}$ l'ensemble quotient de $\mathbb{Z}$
par $\mathcal{R}$ (donc, l'ensemble des classes d'\'equivalence). 

Combien y a-t-il de classes d'\'equivalence diff\'erentes ?

\sq Soient $a,b,c$ des entiers, et soit $f(x) = a x^{2} + b x + c$. 
On veut essayer de donner un sens a cette fonction dans $\overline{\bbZ}$,
c'est \`a dire d\'efinir une fonction $\overline{f}(\overline{x})$
\`a valeurs dans $\overline{\bbZ}$
telle que $y = f(x)$, alors $\overline{y} = \overline{f}(\overline{x})$. 

\ssq Montrer que $x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x - y \text{~pair}$. 

\ssq Soient $a,b,c$ des entiers, et soit $f(x) = a x^{2} + b x + c$. 
En factorisant $f(x) - f(y)$, d\'emontrer l'implication:$$
\forall x,y \in \mathbb{Z} \;:\; x \mathcal{R} y \Rightarrow
f(x) \mathcal{R} f(y).
$$

\ssq Comment peut-on alors d\'efinir $\overline{f}$ ?

\sq Montrer qu'il existe une application $g$ de $\mathbb{Z}$ dans lui-m\^eme
qui, \`a un entier $x$, associe $g(x) = \frac{x^{2} + x}{2}$. Est-il
possible de d\'efinir d'une application
$\overline{g} : \overline{\mathbb{Z}} \rightarrow \overline{\mathbb{Z}}$
telle que, si $y = g(x)$, alors $\overline{y} = \overline{g}(\overline{x})$ ?




\end{exo}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
