\Annee{2001}
\Auteur{Arnaud \textsc{Ch\'eritat}}
\Titre{Quadrature}
\Date{2001/10/19}
\Niveau{\Autres} % Terminales
\AnglePedagogique{\Ludique}
\Theme{\GeomEucl}


\Objectif{Appliquer la géométrie euclidienne à un problème
  d'astronomie. La réponse attendue à la
  question~\ref{arnaud_cheritat_quadrature_label_1} est ``l'angle
  $\widehat{TMS}$''. Pour la
  question~\ref{arnaud_cheritat_quadrature_label_2}, l'écart va
  jusqu'à $\pi$, et la quadrature correspond au plus grand éloignement
  apparent de Vénus au Soleil.}


\begin{exo}
  
On idéalise la trajectoire des planètes autour du Soleil comme des
cercles situés dans le même plan et de centre le Soleil.  Rappelons
que chaque planète parcourt son orbite avec une période différente.
L'orbite de Mars est plus grande que celle de la Terre. Donc, vue de
la Terre, Mars est toujours éclairée. Mais pas toujours de face~: le
Soleil, la Terre et Mars n'étant pas toujours sur une même ligne
droite, il arrive que l'on voie Mars éclairée de biais.

\qst{}\label{arnaud_cheritat_quadrature_label_1}
 Formaliser l'écart par rapport à un éclairement de face, en
 l'identifiant à un angle géométrique ($\in[0,\pi]$) du problème. 

\qst{} Pouvez-vous donner un critère géométrique simple précisant dans
quelles conditions cet écart est maximal~?

\qst{} Pouvez-vous en donner une preuve géométrique~?

\qst{} Calculer l'écart maximal, sachant que le rayon de l'orbite de
la Terre est de $1$ua (unité astronomique), et que ce rayon est
approximativement de $1,52$ua pour Mars~?

\qst{}\label{arnaud_cheritat_quadrature_label_2} Pour Vénus, dont
l'orbite a un rayon de $0,72$ua, au lieu de 
Mars, que se passe-t-il~?

\end{exo}
